计算方法试题集及答案(3)

k1?f?x0,y0??0.5y1?y0?h2，k2?f?x1,y0?hk1??1.1?2?0.2?0.5??0.5238095

?k1?k2??2?0.1??0.5?0.5238095??2.1071429

?12?2??1?????A?111b?2??????1??22?，?3??， 37、（15分）已知方程组Ax?b，其中

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

解：（1）Jacobi迭代法的分量形式

(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k)(k)?2?x1?x3;k?0,1,2,??x2?x(k?1)?3?2x(k)?2x(k)12?3

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为 ?0??1B?D(L?U)??1????2?20?2(k)(k)?x1(k?1)?1?2x2?2x3?(k?1)(k?1)(k)?2?x1?x3;k?0,1,2,??x2?x(k?1)?3?2x(k?1)?2x(k?1)12?3

2???1?0??，

?1??2??3?0，?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为 ?0??1G?(D?L)U?0???0?2202???3?2??，

?1?0,?2??3?2，?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法发散

?dy?2x?y??dx?38、（10分）对于一阶微分方程初值问题?y(0)?1，取步长h?0.2，分别用Euler预报－校

正法求y(0.2)的近似值。 解：Euler预报－校正法

(0)?yn?yn?0.2(2xn?yn)?0.4xn?0.8yn?1?(0)?yn?1?yn?0.1(2xn?yn?2xn?1?yn?1)?0.16xn?0.2xn?1?0.82yn40、(10分)已知下列函数表：

y(0.2)?y1?0.2?0.2?0.82?1?0.86

11

x f(x) 0 1 2 3 27 1 3 9 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）

L3(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(0?1)(0?2)(0?3)?(x?0)(x?2)(x?3)(1?0)(1?2)(1?3)?(x?0)(x?1)(x?3)(2?0)(2?1)(2?3)?(x?0)(x?1)(x?2)(3?0)(3?1)(3?2)

?43x?2x?0121393283x?1

2624（2）均差表：327 18 6 3

N3(x)?1?2x?2x(x?1)?43x(x?1)(x?2)

f(1.5)?N3(1.5)?5

?dy?8?3y?(x?0)dx??41、(10分)取步长h?0.2，求解初值问题?y(0)?2，用欧拉预报—校正法求y(0.2)的近似值。

解：（1）欧拉预报-校正法：

(0)?yn?yn?0.2(8?3yn)?1.6?0.4yn?1??yn?1?yn?0.1(8?3yn?8?3(1.6?0.4yn))?1.12?0.58yn y(0.2)?y1?2.28

?42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分

近似值（保留4位小数）。

f(x)?11?2x 22011?2x2dx的

解：5个点对应的函数值xi f(xi) 0 1 0.5 1 1.5 2 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111 ----------------------------------------------------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： T4?0.52[1?2?(0.666667?0.333333?0.181818)?0.111111]

(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

?0.868687

12

S2?16[1?4?(0.666667?0.181818)?2?0.333333?0.111111]

?0.861953

43、(10分)已知方程组Ax?b，其中

?211??1?A???121??b????1???112??，??1??

(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 解：（1）Jacobi迭代法：

?x(k?1)(k)(k)1?(1?x2?x3)/2??x(k?1)(k)(2?(1?xk)1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k)?31?x(k)2)/2

?11??0?22?B?D?1(L?U)??1?01???22??11??Jacobi迭代矩阵：

??220??

?(B)?1 收敛性不能确定

（2）Gauss-Seidel迭代法：

?x(k?1)(k)(k)1?(1?x2?x3)/2??x(k?1)(k?1)2?(1?x(k)1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k?1)?3?x(k?1)12)/2

?1??01?22?G?(D?L)?1U??1???0?1?42??0?1?1??Gauss-Seidel迭代矩阵：

??88??

?(B)??5?7i16?18?1 该迭代法收敛

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