计算方法试题集及答案(2)

2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为

xn?1?xn?xn?32xn2， 即

xn?1?xn2?32xn(n?0,1,2,?)

取x0=1.7, 列表如下：

n xn1 1.73235 2 1.73205 3 1.73205 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。

L2(x)?2?(x?1)(x?2)(?1?1)(?1?2)23解：

?3?32(x?1)(x?2)(1?1)(1?2)?4?43(x?1)(x?1)(2?1)(2?1)

?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?1(x?1)(x?1)?0.04167

f(1.5)?L2(1.5)?24

17、n=3,用复合梯形公式求?01edx13x的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

23?解：01edx?T3?x1?02?3[e?2(e0?e)?e]?1.73421

xxf(x)?e,f??(x)?e，0?x?1时，|f??(x)|?e

|R|?|e?T3|?xe12?32?e108?0.025??0.05

至少有两位有效数字。

?3??1?1?0?31??1?4???118、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：

?x1??5?????x?1?2????x????3?=??8?，

?(k?1)1(k)x1?(?x3?5)?3?1?(k?1)(k?1)(k)x??(?x1?x3?1)?23?1?(k?1)(k?1)(k?1)x?(?x?x?8)12?34?

6

?3?1??1系数矩阵?0?3?11??1?4??严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.

取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

k x1(k) x2(k) x3(k) 1 2 3 1.667 2.398 2.461 0.889 0.867 0.359 -2.195 -2.383 -2.526

?y??x?y?19、用预估—校正法求解?y(0)?1(0?x?1)，h=0。2，取两位小数。

解：预估—校正公式为

1?yn?1?yn?(k1?k2)?2???k1?hf(xn,yn)??k2?hf(xn?h,yn?k1)?? n?0,1,2,?

其中f(x,y)?x?y，y0?1，h=0.2，n?0,1,2,3,4，代入上式得：

n xn1 0.2 1.24 2 0.4 1.58 3 0.6 2.04 4 0.8 2.64 15 1.0 3.42 e?xyn 21、（15分）用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算?0b?a127dx时，试用余项估计其误

差。用n?8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

RT[f]??2hf??(?)?112?182?e?01768?0.001302解：

T(8)?h2

[f(a)?2?f(xk)?f(b)]k?1

?116[1?2?(0.8824969?0.7788008?0.60653066?0.5352614?0.47236655?0.41686207)?0.36787947]

?0.6329434

33x?22、（15分）方程x?x?1?0在x?1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

x?17

对应迭代格式xn?1?3xn?1；(2)

x?1?1x对应迭代格式

xn?1?1?13xn；（3）x?x?1对应

3迭代格式xn?1?xn?1。判断迭代格式在x0?1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x?1.5附近的根，精确到小数点后第三位。

2??解：（1）

(x)?13(x?1）?3，

??（1.5）?0.18?1，故收敛；

??(x)??12x21?1（2）

x，??（1.5）?0.17?1，故收敛；

（3）??(x)?3x2，??（1.5）?3?1.52?1，故发散。

选择（1）：x0?1.5，x1?1.3572，x2?1.3309，x3?1.3259，x4?1.3249， x5?1.32476，x6?1.32472 23、（8分）已知方程组AX?f，其中 ?43??24?A???34?1?f?????30????14??，???24??

（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

??x(k?1)1?1(24?3x(k)2)?4??x(k?1)1x(k)(k)2?(30?31?x3)?4?x(k?1)13?4(?24?x(k)2)解：Jacobi迭代法：??k?0,1,2,3,? ??x(k?1)1?1(24?3x(k)2)?4??x(k?1)1?3x(k?1)(k)2?(301?x3)?4?x(k?1)3?1(?24?x(k?1)2)Gauss-Seidel迭代法：?4?k?0,1,2,3,?

?0?340?BJ??D?1?(L?U)???303??44???0340????(B?5(或10?0.790569，

J)84)

27、（10分）已知数值积分公式为：

8

?h0f(x)dx?h2[f(0)?f(h)]??h[f(0)?f(h)]2''，试确定积分公式中的参数?，使其代数精

确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：f(x)?1显然精确成立；

h2? f(x)?x时，0f(x)?x时，?02hxdx?hh32?h22[0?h]??h[1?1]22；

3hxdx?xdx?43234??h2h2h2[0?h]??h[0?2h]?[0?h]?43h2?2?h???112；

f(x)?x时，?034h1121124h5h[0?3h]2322； h5f(x)?x时，?0hxdx?5?[0?h]?h[0?4h]?6；

所以，其代数精确度为3。

28、（8分）已知求a(a?0)的迭代公式为：

xk?1?12(xk?axk)x0?0k?0,1,2?

a，且序列?xk?是单调递减的，

证明：对一切k?1,2,?,xk?从而迭代过程收敛。

xk?1?12(xk?axk)?12?2?xk?axk?ak?0,1,2?证明：

故对一切k?1,2,?,xk?xk?1xk?12(1?ax2ka。

xk?1?xk)?12(1?1)?1又

程收敛。

所以，即序列

?xk?是单调递减有下界，从而迭代过

29、（9

?分）数值求积公式

30f(x)dx?32[f(1)?f(2)]是否为插值型求积公式？为什么？其代数精

x?21?2x?12?1度是多少？

解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为

p(x)??f(1)??f(2)

?30p(x)dx?32[f(1)?f(2)]。其代数精度为1。

30、(6分)写出求方程4x?cos?x??1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

xn?1???xn??14(6分)

?1?cos?xn??，n=0,1,2,…

9

?'?x??14sin?x??14?1 ∴ 对任意的初值x0?[0,1],迭代公式都收敛。

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表：

100 10 121 11 0.0476190 144 12 0.0434783 -0.0000941136 115?10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

f'''?x??3?528x

R?f'''???3!?115?100??115?121??115?144?135?68100?2?15?6?29?0.00163

??13??12???x1??5?????????234、(8分)求方程组 ??11???x2????1?? 的最小二乘解。

?6????8???1.3333???3????x???ATA?x?ATb，?14????x1?6???x??20???， ??2.0000?2?

若用Householder变换，则： ??3.464104.61880??A,b????1.73205?0?0.36603?1.52073????0?1.36603?2.52073?? ??1.73205?3.46410?4.61880????01.414212.82843????000.81650??

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T

.

35、(8分)已知常微分方程的初值问题：

?dydx?xy,1?x?1.2? ?y(1)?2

用改进的Euler方法计算y(1.2)的近似值，取步长h?0.2。

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