计算方法试题集及答案

四、计算题：

?4x1?2x2?x3?11??x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)T231、用高斯-塞德尔方法解方程组 ?1，取x?(0,0,0)，迭代四次(要

求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

1?(k?1)(k)(k)x?(11?2x?x)123?4?1?(k?1)(k?1)(k)x?(18?x1?2x3)?24?1?(k?1)(k?1)(k?1)x?(22?2x?x)312?5 ?

k 0 1 2 3 4 2、已知

x1(k) x2(k) x3(k) 0 2.7500 0.20938 0.24043 0.50420 0 3.8125 3.1789 2.5997 2.4820 0 2.5375 3.6805 3.1839 3.7019 xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

L3(x)?2(x?3)(x?4)(x?5)(1?3)(1?4)(1?5)?6(x?1)(x?4)(x?5)(3?1)(3?4)(3?5)

答案：

?5(x?1)(x?3)(x?5)(4?1)(4?3)(4?5)?4(x?1)(x?3)(x?4)(5?1)(5?3)(5?4)

差商表为

xi

yi 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1

1 3 4 5

2 6 5 4 2 -1 -1 14 -1 0 14 P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?3)(x?4)

f(2)?P3(2)?5.5

4、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题

?y??2x?3y?y(0)?1 (0?x?1)

答案：解：

(0)?yn??1?yn?0.2?(2xn?3yn)?(0)??yn?1?yn?0.1?[(2xn?3yn)?(2xn?1?3yn?1)]

即 yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04 n xnyn 0 0 1 1 0.2 1.82 2 0.4 5.8796 3 0.6 10.7137 4 0.8 19.4224 5 1.0 35.0279

x7、构造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式xn?1??(xn),n?0,1,2,?，讨论其收敛

性，并将根求出来，|xn?1?xn|?10x答案：解：令 f(x)?e?10x?2,?4。

f(1)?10?e?0.

f(0)??2?0,且

xf?(x)?e?10?0对?x?(??，??)，故f(x)?0在(0,1)内有唯一实根.将方程

f(x)?0变形为

x?110(2?e)x

则当x?(0,1)时

110x?(x)?

(2?e)|??(x)|??ex，

10?e10?1

2

故迭代格式

xn?1?1(2?exn)10

收敛。取x0?0.5，计算结果列表如下：

n 0 1 2 3 xn 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 xn 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 |x?67?x6|?0.00000095?10.所以x*?0.090525008.

?x1?2x2?3x3?14??2x1?5x2?2x3?188﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 ??3x1?x2?5x3?20。

?1??123?A?LU????21???1?4??答案：解：

??3?51?????24??

令Ly?b得y?(14,?10,?72)T，Ux?y得x?(1,2,3)T.

?3x1?2x?2?10x3?15?10x1?4x2?x3?59﹑对方程组 ??2x1?10x2?4x3?8

（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由； （2） 取初值

x(0)?(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k?1)?x(k)||??10?3。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

?10x1?4x2?x3?5??2x1?10x2?4x3?8??3x1?2x2?10x3?15

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

要求

3

??x(k?1)1(4x(k)(k)1?2?x3??105)??x(k?1)12?(?2x(k?1)?4x(k)13?8)?10?(k?11?x)?(?3x(k?1)(k?1)?3101?2x2?15)

取x(0)?(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*?x(7)?(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

?1?11??x1???4???5?43??????x????12?2?11、用列主元素消元法求解方程组 ??211????x3????11??。 ?1?11?4??43?12???5?43?12?r??5???1??r2???1?11?4??解： ??21111????21111??

??43?12????5?43?12?r1?5?2?r1??128?r2?r3?1379????5??55?5???????05?155?r2?03?13?179???5r1??0??5?12???55????055?85??

?5?43?12?r?1r??32????13???013?179??555??5??013?5??13?? 回代得 x3??1,x2?6,x1?3。 13、用欧拉方法求

y(x)??x0e?t2dt

在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 t2解：

y(x)??x0e?dt等价于

??y??e?x2???y(0)?0 (x?0)

4

记

f(x,y)?e?x2,取h?0.5,x0?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.

则由欧拉公式

?yn?1?yn?hf(xn,yn)??y0?0, n?0,1,2,3

可得 y(0.5)?y1?0.5,y(1.0)?y2?0.8894, 0y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604

14、给定方程f(x)?(x?1)ex?1?0

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1）将方程 (x?1)ex?1?0 （1）

改写为

x?1?e?x （2）

作函数f?x?1，f?x*1(x)2(x)?e的图形（略）知（2）有唯一根x?(1,2)。

2) 将方程（2）改写为 x?1?e?x

?xxk?1?1?e?k?构造迭代格式 ?x0?1.5 (k?0,1,2,?)

计算结果列表如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) ?(x)?1?e?x，??(x)??e?x

当x?[1,2]时，?(x)?[?(2),?(1)]?[1,2]，且

|??(x)|?e?1?1

所以迭代格式 xk?1??(xk)(k?0,1,2,?)对任意x0?[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

5

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