第24讲 三角恒等变形及应用(3)

1?2sin(2x?)4. 例8．（06北京理，15）已知函数f(x)?cosx（Ⅰ）求f(x)的定义域；

（Ⅱ）设?的第四象限的角，且tan???解析：（Ⅰ）由 cosx?0得x?k??故f(x)在定义域为?xx?k???4，求f(?)的值。 3?2(k?Z)，

???2,k?Z?,

4，且?是第四象限的角, 343 所以sin???,cos??,

55（Ⅱ）因为tan???1?2sin(2??)4 ? 故f(x)?cos?1?2( ? ??22sin2??cos2?)22

cos?1?sin2??cos2?

cos?2cos2??2sin?cos? ?

cos? ?2(cos??sin?)

?14。 5题型5：三角函数求值

例9．（06重庆理，17）设函数f(x)=3cos2cos+sin?rcos?x+a(其中?＞0,a?R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为

（Ⅰ）求ω的值；

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x。 6（Ⅱ）如果f(x)在区间????5??,?上的最小值为3，求a的值。 36??解析：（I）f(x)?依题意得 2??313?3cos2?x?sin2?x????sin(2?x?)??a 22232?6??3??2???1． 2（II）由（I）知，f(x)?sin(x?又当x?[??3)?3??。 2?5?3,6]时，x??3?[0,7?1?]，故??sin(x?)?1，从而f(x)在区623间??，?上的最小值为3????a，故a?22?36?例10．（06上海理，17）求函数y＝2cos(x?最小正周期。

?π5π?133?1. 2?4)cos(x??4)＋3sin2x的值域和

???) cos(x－)+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+)， 446??∴函数y=cos(x+) cos(x－)+3sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

44解析：y=cos(x+题型6：三角函数综合问题

????例11．已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?),????.

22????（I）若a?b,求?; （II）求a?b的最大值。

?????b?0?sin??cos??0????解析：（1）a?b,?a?

4；

??(2).a?b?(sin??1,cos??1)?(sin??1)2?(cos??1)2?sin2??2sin??1?cos2??2cos??1?2(sin??cos?)?3?22sin(??)?3 4第 12 页 共 16 页

????当sin(??)=1时a?b有最大值,此时??最大值为22?3?2?1。

44，

?点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0；2，特殊角的三角

函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。

例12．（2001天津理，22）设0<θ<

?2，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sin

θ=1有4个不同的交点。

（1）求θ的取值范围；

（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

?x2sin??y2cos??1?x2?sin??cos?解析：（1）解方程组?，得?；

222?xcos??ysin??1?y?cos??sin??sin??cos??0?故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为?，（0<θ<）

2?cos??sin??0?0<θ

<

?。 42，

（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i=1，2，3，4），则：xi2+yi2=2cosθ∈（2）（i=1，2，3，4）。

故四个交点共圆，并且这个圆的半径r=

2cosθ∈（42,2）.

点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查。 题型7：三角函数的应用

例13．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．

分析：本题入手要解决好两个问题，

（1）内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理；

（2）求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。

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解析：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ，

，

。

又设矩形EFGH的面积为S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，

如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

设矩形的面积为S．

那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ) ＝2R2［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ－30°)＝1

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。

五．思维总结

从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。

1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：

（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角

如?????????，2?????????????，2???????????等；

（3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围 （5）化简要求

熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。 2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

3．解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 4．加强三角函数应用意识的训练

1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。

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5．变为主线、抓好训练

变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。

针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。

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