第24讲 三角恒等变形及应用(2)

从而sinx??72，tanx?7. 102?72???72?2?2????2???????21010102sinxcosx?2sinx???????28.

原式???1?tanx1?775解法二：原式?2sinxcosx?1?tanx?????sin2x?tan??x?，

1?tanx?4???????????????7而sin2x?sin?2??x?????cos2??x????2cos2??x??1??

?4??4??25??4?2?????sin??x?????4???4，tan??x??

?43????cos??'x??4?所以，原式?7?4?28??????. 25?3?75点评：此题若将cos???3???3sinx?x??的左边展开成cos?cosx?sinsinx?再求cosx，

445?4?5的值，就很繁琐，把

??????x作为整体，并注意角的变换2·??x???2x，运用二4?4?2倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，

如2?????????????，

2?????????????，2????2???????，2????2???????，

?????????，?????????，?????????，??????????等。

题型3：辅助角公式

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asin例5．已知正实数a,b满足

?55?tan8?，求b的值。

??15aacos?bsin55?bcos?分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于

bb的方程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有aaasin??bcos?的结构，可考虑引入辅助角求解。

?b?8sin?cossin?5a5?15? 解法一：由题设得

?b?8cos?sincos?5a5158?8?sin?8????????cos?cos??sinb?155???tan155155? ??3.

8?8?8??a3?cos??cos?sin??sincos????1551555??15sin解法二：因为asin?5?bcos???? ?a2?b2sin????，5?5?b????a2?b2cos????，其中tan??，55a?5?8????由题设得tan?????tan.15?5?

?8?所以???k???，即??k??，5153b????故?tan??tan?k????tan?3.a3?3??btan?8解法三：原式可变形为：5a?tan?，

b?151?tana5acos?bsin??第 7 页 共 16 页

?tan?b8???5令tan??，则有?tan?????tan?，?a15?5?1?tan??tan5?8?由此可???k????k?Z?,所以??k??，?k?Z?

5153???b?故tan??tan?k????tan?3，即?33?3a?tan点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模

式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式

?b??asin??bcos??a2?b2sin?????，?其中tan???，或asin??bcos?

a??a???a2?b2cos?????，其中tan????在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关

b??注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三

最佳。

例6．（2000全国理，17）已知函数y＝

123cosx＋sinxcosx＋1，x∈R. 22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? （理）（1）解析：y＝

123cosx＋sinxcosx＋1 22＝

311（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1 444531cos2x＋sin2x＋ 4441??5（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋

46621?5sin（2x＋）＋

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＝

＝

＝

y取得最大值必须且只需2x＋

?6＝

?＋2kπ，k∈Z， 2即x＝

?6＋kπ，k∈Z。

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换： ①把函数y＝sinx的图象向左平移

?6＋kπ，k∈Z｝。

?6，得到函数y＝sin（x＋

?6）的图象；

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数 2y＝sin（2x＋

?6）的图象；

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1倍（横坐标不变），得到函数 2y＝

?1sin（2x＋）的图象； 26?515个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象； 4246④把得到的图象向上平移

综上得到函数y＝

123cosx＋sinxcosx＋1的图象。 22点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技

能以及运算能力。

（2000全国文，17）已知函数y＝

3sinx＋cosx，x∈R.

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

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解析：（1）y＝

3sinx＋cosx＝2（sinxcos

?6＋cosxsin

?6）＝2sin（x＋

?6），x∈R

?y取得最大值必须且只需x＋

6即x＝

?＝＋2kπ，k∈Z， 2?＋2kπ，k∈Z。 3?＋2kπ，k∈Z｝ 3?6所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝（2）变换的步骤是：

①把函数y＝sinx的图象向左平移

?6，得到函数y＝sin（x＋）的图象；

②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y＝2sin（x＋

?6）的图象；

经过这样的变换就得到函数y＝

3sinx＋cosx的图象。

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。

题型4：三角函数式化简

例7．（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值。

解析：原式＝

111（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°） 222＝1＋

111（cos100°－cos40°）＋sin70°－ 224＝

31－sin70°sin30°＋sin70°

243131－sin70°＋sin70°＝。

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＝

点评：本题考查三角恒等式和运算能力。

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