高三数学数列压轴题复习

高考数列压轴题选讲

1、已知函数f(x)?log3(ax?b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记an?3f(n),n?N*. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?an,Tn?b1?b2???bn，若Tn?m(m?Z)，求m的最小值； 2n（3）求使不等式(1?1)(1?1)?(1?1)?p2n?1对一切n?N*均成立的最大实数p.

a1a2an解：（1）由题意得??log3(2a?b)?1?a?2?log，解得?，

3(5a?b)?2?b??1 ?f(x)?log3(2x?1) alog2n?1)n?33(?2n?1,n?N*

（2）由（1）得b2n?11352n?32n?1n?2n， ?Tn?21?22?23???2n?1?2n 1132n?52n?32Tn?22?23???2n?1?2n?2n?12n?1 ①-②得1122222n?12Tn?21?22?23???2n?1?2n?2n?1

?111112n?1312n?121?(21?22???2n?2?2n?1)?2n?1?2?2n?1?2n?1. ?T?12n?12n?3n?32n?2?2n?3?2n， 2n?32n?5设f(n)?,n?N*2n，则由f(n?1)f(n)?2n?12n?3?2n?52(2n?3)?12?12n?3?12?15?12n得f(n)?2n?32n,n?N*随n的增大而减小?当n???时，Tn?3 又Tn?m(m?Z)恒成立，?mmin?3 （3）由题意得p?12n?1(1?111a)(1?a)?(1?)对n?N*恒成立

12an 记F(n)?12n?1(1?1a)(1?1a)?(1?1)，则

12an① ② F(n?1)?F(n)?11111(1?)(1?)?(1?)(1?)a1a2anan?12n?22(n?1)2n?3??1111(2n?1)(2n?3)4(n?1)2?1(1?)(1?)?(1?)a1a2an2n?12(n?1)?1

2(n?1)?F(n)?0,?F(n?1)?F(n),即F(n)是随n的增大而增大

F(n)的最小值为F(1)?2223，?p?3，即pmax?3. 333*2、设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n?N，点?n,Sn?都在函数f(x)?x????n?an 的图象2x上．

（Ⅰ）求a1,a2,a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；

（Ⅱ）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，

a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），(a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），?，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺

序构成的数列为{bn}，求b5?b100的值；

?a?1?（Ⅲ）设An为数列?n?的前n项积，是否存在实数a，使得不等式Anan?1?f(a)?an?32a?an?对一切n?N都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点?n,故

*??anSn?f(x)?x?在函数的图象上， ?2xn?Sna1?n?n，所以Sn?n2?an． n2n21令n?1，得a1?1?a1，所以a1?2；

21令n?2，得a1?a2?4?a2，所以a2?4；

21令n?3，得a1?a2?a3?9?a3，所以a3?6．

2由此猜想：an?2n．

用数学归纳法证明如下：

① 当n?1时，有上面的求解知，猜想成立． ② 假设n?k (k?1)时猜想成立，即ak?2k成立，

1an(n?N*)， 21122故Sk?1?(k?1)?ak?1，Sk?k?ak．

2211两式相减，得ak?1?2k?1?ak?1?ak，所以ak?1?4k?2?ak．

22则当n?k?1时，注意到Sn?n?2由归纳假设得，ak?2k，

故ak?1?4k?2?ak?4k?2?2k?2(k?1)． 这说明n?k?1时，猜想也成立．

由①②知，对一切n?N，an?2n成立 ．

（Ⅱ）因为an?2n（n?N），所以数列?an?依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），

**（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），

（34，36，38，40）；（42），?. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故

b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数

组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以 b100?68?24?80?1988．又b5=22，所以b5?b100=2010. （Ⅲ）因为

an?11?1?，故Ananan????1??1?1???1???1??????1??， ?a1??a2??an?所以Anan?1??1?又f(a)?故An?1??1?1?1????1???2n?1． ???a1??a2??an?an?3aa?33， ?a?n?n?a?2a2a2a2aa?3*对一切n?N都成立，就是 an?1?f(a)?n2a??1??1?1?3*n?N对一切都成立． 1?1????1?2n?1?a???????2a?a1??a2??an?设g(n)??1???3?1??1?1?[g(n)]?a?，则只需即可． 1????1?2n?1max?????2aa1??a2??an?4n2?8n?3g(n?1)?1?2n?32n?12n?3由于??1， ??1?????2g(n)a2n?22n?12n?14n?8n?4n?1??所以g(n?1)?g(n)，故g(n)是单调递减，于是[g(n)]max?g(1)?3． 2令(a?3)(2a?3)333?0，解得??a?，即 ?a?0，或a?3．

a22a2*综上所述，使得所给不等式对一切n?N都成立的实数a存在，a的取值范围是

(?3,0)?(3,??)． 23、已知点列An?xn,0?满足：A0An?A1An?1?a?1，其中n?N，又已知x0??1，

x1?1，a?1.

(1)若xn?1?f?xn?n?N?，求f?x?的表达式； (2)已知点B

???a，0?，记an?BAn?n?N??，且an?1?an成立，试求a的取值范围；

a?1 。

2?a(3)设（2）中的数列?an?的前n项和为Sn，试求：Sn?解：（1）∵A0(?1,0)，A1(1,0)，∴A0An?A1An?1?(xn?1)(xn?1?1)，

∴(xn?1)(xn?1?1)?a?1，∴xn?1?f(xn)?∴f(x)?xn?a， xn?1x?a. x?1 （2）∵BAn?(xn?a,0)，∴an?BAn?xn?a.

∵an?1?xn?1?a?f(xn)?a

?xn?a?a?(a?1)?xn?a?(a?1)?xn?a?(a?1)an

xn?1xn?1∴要使an?1?an成立，只要a?1?1，即1?a?4 ∴a?(1,4]为所求.

（3）∵an?1?(a?1)xn?a?(a?1)?xn?1?a?… ?(a?1)?x1?a?(a?1)∴an?(a?1)n

∴Sn?a1?a2???an?(a?1)?(a?1)2???(a?1)n

n(a?1)?1?(a?1) ?

2?a2nn?1，

?? ∵1?a?4，∴0?a?1?1，∴0?(a?1)n?1

∴Sn?a?1

2?a24、已知f(x)在(?1,1)上有定义，f(1)?1且满足x,y?(?1,1)时有f(x)?f(y)?f(x?y),

1?xy若数列?xn?满足 x1?2xn1。 ,xn?1?221?xn （1）求f(0)的值，并证明f(x)在(?1,1)上为奇函数； （2）探索f(xn?1)与f(xn) 的关系式，并求f(xn)的表达式； （3）是否存在自然数m，使得对于任意的n?N*，有

1111m?8恒成立？若存在，求出m的最小值，若不存在，

???????f(x1)f(x2)f(x3)f(xn)4请说明理由。

(1) 令x?y?f(0)?0,0?y 令x?0?f(0)?f(y)?f()?f(y)

1?0?y ?f(?y)??f(y) ?f(x)在（?11，）上为奇函数.

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