高三数学数列压轴题复习(3)

(2)由an?14n?3an,Tn?12?16n2?8n?3

得(4n?3)Tn?1?(4n?1)Tn?(4n?3)(4n?1) ∴

TnTn?1Tn?T1?n?1 ??1 ∴

4n?34n?14n?3∴Tn?(4n?3)(T1?n?1)

若{bn}为等差数列，则T1?1?0,T1?1即b1?1 ∴bn?8n?7(3)an?∴an?n?N*

14n?3224n?3?24n?3?4n?1?4n?1?4n?3

2∴Sn?a1?a2???an?1(5?1)?(9?5) 2114n?1?1?4n?1?1n?N* 229、已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：对任意x?[0,1]，总有f(x)?2， f(1)?3； 若x1?0，x2?0且x1?x2?1，则有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?2． （1）求f(0)的值；

（2）试求f(x)的最大值；

1n?N*， （3）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?1,Sn??(an?3)231 求证：f(a1)?f(a2)???f(an)??2n?． n?122?3解：（1）令x1?x2?0，则f(0)?2，又由题意，有f(0)?2

???(4n?1?4n?3)? ?f(0)?2 （2）任取 且x1?x2，则0

?f(x2)?f(x2?x1?x1)?f(x2?x1)?f(x1)?2?f(x1) ?f(x)的最大值为f(1)?3 1 （3）由a1?1,Sn??(an?3)2n?N* ?Sn?1??(an?1?3)12n?2

又由an?Sn?Sn?11(n?2) ?an?an?13(n?2)

?数列{an}为首项为1，公比为 当n?1时，f(a1)?f(1)?3? 当n?2时，f(a2)?f()

11的等比数列， ?an?n?1 3331，不等式成立， ?2?1?122?313171111111 ?f(1)?f(??)?f()?f(?)?2?3f()?4， ?f()?

3333333331731 ?f(a1)?f(a2)?f(1)?f()?3???2?2? 不等式成立 2?13322?3 假设n?k时，不等式成立。

31 即 f(a1)?f(a2)???f(ak)??2k?

22?3k?1 则 当n?k?1时，

1111 f(ak?1)?f(1)?f(??)?3f()?4 kk?1k?1k?1k?13333311141114 ?f(k?1)?f(k)? f(k)?f(k?1)?k?1,2,3,4,?

33333333111411444?f(k)?f(k?1)????k?1f()?k?1???2?333333333

721?k?2?k?1?2?k33331 ?f(a1)?f(a2)???f(ak?1)?3?2k?1k?1?2?1??2(k?1)?22?33k22?3k 即 n?k时，不等式成立

故 对n?N* ，原不等式成立。

10、已知函数y?1?1?的图象按向量m?(2,1)平移后便得到函数f(x)的图象，数列{an}满x?2*

足an?f(an?1)（n≥2，n?N）． （Ⅰ）若a1?13，数列{bn}满足bn?，求证：数列{bn}是等差数列；

an?15 （Ⅱ）若a1?3，数列{an}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若5不存在，说明理由；

（Ⅲ）若1?a1?2，试证明：1?an?1?an?2． 解:f(x)?1?1*11（n≥2，n?N）． ?1?2?，则an?2?an?1x?2?2x （Ⅰ）b?1n1an?1，b?1， n?1??an?1?1an?12?1?1an?1?1an?11an?1?1an?1?1?1（n≥2，n?N）．∴数列{bn}是等差数列．

*

∴bn?bn?1?an?1? （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{bn}是等差数列，首项b1?则其通项公式bn???(n?1)?1?n?， 由bn?15??，公差为1， a1?12527212得an?1?1?1?1，故an?1?．

7an?12n?7bnn?2构造函数y?1?42?0． ，则y??2(2x?7)2x?7277在区间(??,)，(,??) 上为减函数． 2x?722772∴当x?时，y?1??1，且在(??,)上递减，故当n?3时，bn取最小值b3??1；

222x?7772当x? 时，y?1??1，且在(,??)上递减，

222x?7函数y?1?故当n?4时，bn取最大值b4?3．故存在．

（Ⅲ）先用数学归纳法证明1?an?2，再证明an?1?an． ①当n＝1时，1?a1?2成立， ②假设n＝k时命题成立，即1?ak?2，

1113则当n＝k+1时，??1，ak?1?2??(1,)，则1?ak?1?2，故当n＝k+1时也成立．

2akak2综合①②有，命题对任意n?N时成立，即1?an?2．下证an?1?an． ∵an?1?an?2?*

111?an?2?(an?)?2?2an??0，∴an?1?an．综上所述：1?an?1?an?2． ananan【总结点评】本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体，充分展示了《考试大纲》“构

造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性”的题目，这需要我们加强这一方面的训练，需要从多层次、多角度去思考问题．

3211、设数列?an?满足：a1?1，且当n?N时，an?an(1?an?1)?1?an?1

? (1) 比较an与an?1的大小，并证明你的结论；

2? (2) 若b?(1?an)1，其中n?N，证明：0?n2an?1an?bk?1nk?2.

3232解：（1）由于an?an(1?an?1)?1?an?1，则an?1?an?an2?1，

1?an123(a?)?na?a?1a?an?124?0，∴a?a ∴an?1?an??an??n?1n2221?an1?an1?an3n2n2n222 （2）由于b?(1?an)1，由（1）an?1?an，则an?1，1?an?0，

n222an?1anan?1an?1而an?1?an??a1?1?0，则bn?0，∴?bk?b1?b2???bn?0.

k?1222 又b?(1?an)1?an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)?2an?1(an?1?an)

n2222nan?1ananan?1anan?1anan?1 ∴bn?2(an?1?an)，bn?2(1?1)

anan?1anan?1∴?bk?b1?b2???bn?2[(1?1)?(1?1)???(1?1)]?2(1?1)， a1a2a2a3anan?1a1an?1k?1而an?1?an，且a1?1，故an?1?0 ∴?bk?k?1nnn2，因此?bk?2，从而0??bk?2. a1k?1k?1n12、已知函数f(x)?ax?b是定义在R上的奇函数，且当x=1时f(x)取最大值1. x2?c(1)求出a,b,c的值并写出f(x)的解析式；

(2)若x1∈(0，1)，xn+1=f(xn)，试比较xn+1与xn的大小并加以证明； (3)若x1?2221,xn?1?f(xn)，求证(x1?x2)?(x2?x3)???(xn?xn?1)?5. 2x1x2x2x3xnxn?116解：(1)∵f(x)?ax?b的定义域为R，∴c>0 x2?cax?b?ax?b??0 ， b=0 ， x2?cx2?c又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)+f(x)=0，∴f(x)?ax，又f(1)=1，∴a=1+c>0，∴当x>0时，f(x)?c?1?c?1 x?cc2cx?x2∴c?1?1,?c?1 ∴a=2，b=0，c=1， 2cf(x)?2x 2x?1(2)xn?1?2xn*

，∵x1∈(0，1)，∴xn+1>0(n∈N) 2xn?1又xn?1?f(xn)?1且xn?1?1,则xn?1从而x1?1与x1?(0,1)矛盾，∴xn+1<1

3∴xn?1?xn?2xn?xn?xn?xn?xn(1?xn)(1?xn)?0 ∴xn+1>xn。

22xn?1xn2?1xn?1 (3)∵0

∴xk?1?xk?xk(1?xk)?1?xk?1?212xk?1xk?14x?1?k112?1 ???8?2422?22(x?x)x?x2?111 kk?1∴?k?1k(xk?1?xk)?(?)xkxk?1xkxk?18xkxk?1(xn?1?xn)2(x1?x2)2(x2?x3)22?1111111?????[(?)?(?)???(?)]x1x2x2x3xnxn?18x1x2x2x3xnxn?1

?2?1112?11 (?)?(2?)8x1xn?18xn?1∵x1?111,xn?1?xn??xn?1?1,?1??2 22xn?123?1(xk?xk?1)2?152???(2?1)??

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