高三数学数列压轴题复习(2)

2xx?(?xn)（2）?f(xn?1)?f(n2)?f[n]?f(xn)?f(?xn)?2f(xn)1?xn1?xn(?xn)

?f(xn?1)?2(常数）??f(xn)?为等比数列,f(xn)

1 又f(x1)?f()?1，q?22 ?f(xn)?2n?1.（3）假使存在自然数m满足题设,则 1111111???????1??()2????()n?1 f(x1) f(x2) f(x3) f(xn)2221m?8 =2-()n?1? 对于任意的n?N*成立,248 ?m?16?n 对于任意的n?N*成立,2 ?m?16 即m的最小值为16.

5、数列?an?满足a1?,an?1?121． 2?an（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn?n?ln(解：(Ⅰ)方法一：an?1?1?所以

1an?1?1?n?2)． 2a?11?1?n， 2?an2?an2?an1． ??1?an?1an?1所以{1}是首项为?2，公差为?1的等差数列． an?1所以

1n??n?1，所以an?． an?1n?1方法二：a2?24n3，a3?，a4?，猜测an?． 35n?14下用数学归纳法进行证明．

1，命题成立； 2k②假设当n?k(k?1,k?N)时成立，即ak?，那么

k?111k?1??当n?k?1，ak?1?， 2?ak2?kk?2k?1①当n?1时，由题目已知可知a1?也就是说，当n?k?1时命题也成立．

综上所述，数列{an}的通项公式为an?n． n?1（Ⅱ） 设F(x)?ln(x?1)?x(x?0) 则F?(x)?1?x?1??0(x?0) x?1x?1函数F(x)为(0,??)上的减函数，所以F(x)?F(0)?0，即ln(x?1)?x(x?0) 从而 ln(1?1111)?,1??1?ln(1?), n?1n?1n?1n?1an?1?1?1?ln(n?2)?ln(n?1), n?1Sn?(1?ln3?ln2)?(1?ln4?ln3)???[1?ln(n?2)?ln(n?1)]

Sn?n?ln(n?2) 26、已知二次函数f(x)?x2?ax?a(x?R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0?x1?x2，使得不等式f(x1)?f(x2)成立，设数列｛an｝的前

n项和Sn?f(n)．

（1）求函数f(x)的表达式；

(2) 设各项均不为0的数列｛bn｝中，所有满足bi?bi?1?0的整数i的个数称为这个数列｛bn｝的变号数，令bn?1?a?（n?N）,求数列｛bn｝的变号数； an（3）设数列｛cn｝满足：cn?求出该项，若不存在，说明理由．

1，试探究数列｛cn｝是否存在最小项？若存在，?a?ai?1ii?1n解（１）∵不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素

2∴??a?4a?0 解得a?0或a?4

2当a?0时函数f(x)?x在(0,??)递增，不满足条件②

2当a?4时函数f(x)?x?4x?4在（０，２）上递减，满足条件②

综上得a?4，即f(x)?x2?4x?4.

（２）由（１）知Sn?n2?4n?4?(n?2)2

当n?1时，a1?S1?1

当n≥２时an?Sn?Sn?1＝(n?2)2?(n?3)2＝2n?5 ∴an???1,(n?1)

?2n?5.(n?2)??3,(n?1)由题设可得b?? 4?n1?.(n?2)??2n?5∵b1??3?0,b2?1?4?5?0，b3??3?0，∴i?1，i?2都满足bi?bi?1?0 ∵当n≥３时，bn?1?bn?448?0 ??2n?52n?3(2n?5)(2n?3)即当n≥３时，数列｛bn｝递增， ∵b4??14?0，由1??0?n?5，可知i?4满足bi?bi?1?0 32n?5∴数列｛bn｝的变号数为３.

（３）∵cn??i?1n1111＝1, 由（２）可得： ?????a1a2a2a3a3a4anan?1ai?ai?1111111cn??1?(?1)?[(1?)?(?)???(?)]

23352n?52n?331?(2n?3)?114?3n12??3?＝?2?(1?＝2 )?22n?32n?32n?322(2n?3)∵当n?2时数列｛cn｝递增，∴当n?2时，c2??2最小, 又∵c1??1?c2， ∴数列｛cn｝存在最小项c2??2 〔或∵cn?1＝1?1?1???1,由（２）可得： ?a1a2a2a3a3a4anan?1i?1ai?ai?1n114?3n111111 )?cn??1?(?1)?[(1?)?(?)???(?)]＝?2?(1?22n?32n?323352n?52n?3对于函数y?4?3x?3(2x?3)?2(4?3x)1?0 ∵y'??222x?3(2x?3)(2x?3)3∴函数y?4?3x在(,??)上为增函数，∴当n?2时数列｛cn｝递增，

22x?3∴当n?2时，c2??2最小，

又∵c1??1?c2， ∴数列｛cn｝存在最小项c2??2 7、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn? （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?2Sn?1，若数列{bn}为等比数列，求a的值； an11，数列{cn}的前n项和为Tn . ?1?an1?an?1a(an?1)（a为常数，且a?0,a?1）． a?1（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设cn?1求证：Tn?2n?．

3解：（Ⅰ）?S1?a(a1?1),∴a1?a, a－1aaan?an?1, a?1a?1当n?2时，an?Sn?Sn?1?an?a，即{an}是等比数列． ∴an?a?an?1?an； an?12?a(an?1)(3a?1)an?2aa?1，若{bn}为等比数列， ?1?nnaa(a?1)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn?23a?23a2?2a?2 则有b2?b1b3,而b1?3,b2?,b3?,

aa23a?223a2?2a?21)?3?故(，解得a?， 2aa31再将a?代入得bn?3n成立，

31所以a?．

3113n3n?11n???（III）证明：由（Ⅱ）知an?()，所以cn? 1n1n?13n?13n?1?131?()1?()333n?1?13n?1?1?111?n?n?1?1?n?1?n?1 3?13?13?13?111?2?(n?n?1)，

3?13?111111111由n?n,n?1?n?1得n?n?1?n?n?1, 3?133?133?13?1331311所以cn?2?(n?n?1)?2?(n?n?1)，

3＋13?133111111从而Tn?c1?c2???cn?[2?(?2)]?[2?(2?3)]??[2?(n?n?1)]

333333111111111?2n?[(?2)?(2?3)???(n?n?1)]?2n?(?n?1)?2n?．

3333333331即Tn?2n?．

38、已知f(x)??4?11数列的前n项和为，点{a}SP(a,?)在曲线y?f(x)上nnnn2an?1x(n?N*)且a1?1,an?0.

（1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}的前n项和为且Tn满足

Tn?1Tn设定b1的值使得数列{bn}??16n2?8n?3，22anan?1是等差数列；

1 （3）求证：Sn?4n?1?1,n?N*.

2解：(1)?1?f(an)??4?1且an?0

2an?1an∴1?4?1 ∴1?1?4(n?N*)

222an?1anan?1an∴数列{1an}是等差数列，首项21an2?1公差d=4

1

4n?3∴

1an2?1?4(n?1) ∴an?1an?32∵an?0 ∴an?(n?N*)

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