《数学分析》(华师大二版)课本上的习题7(3)

4．设函数f和g都在区间I上一致连续. ⑴ 若I为有限区间，证明f?g在I上一致连续；

证 因为f和g都在区间I上一致连续，所以f和g都在区间I上有界（P.172习题2），于是存在M?0，使得对任何x?I有|f(x)|?M，|g(x)|?M. 由一致连续的定义，???0，???0，使得?x?,x???I，只要|x??x??|??，就有|f(x?)?f(x??)|??，

|g(x?)?g(x??)|??. 从而有

|f(x?)g(x?)?f(x??)g(x??)|?|f(x?)g(x?)?f(x?)g(x??)|?|f(x?)g(x??)?f(x??)g(x??)|?|f(x?)|?|g(x?)?g(x??)|?|g(x??)|?|f(x?)?f(x??)|?M??M??2M?

所以f?g在I上一致连续.

⑵ 若I为无限区间，举例说明f?g在I上不一定一致连续.

证 设f(x)?x，g(x)?x，I?(??,??)，则f和g都在区间I上一致连续，但f(x)g(x)?x2在区间I上不一致连续.

5．设f定义在(a,b)上. 证明：若对(a,b)内任一收敛数列{xn}，极限limf(xn)都

n??存在，则f在(a,b)上一致连续.

证 反证法. 假设f在(a,b)上不一致连续，则存在?0?0，对??（n?1,2,?），

1n??xn??|??,xn???(a,b)，尽管|xn存在相应的两点xn1?)?f(xn??)|??0. 于是得，但有|f(xnn?}与{xn??}?(a,b)，由致密性定理，存在{xn?}的收敛子列{xn?k}，设数列{xn?k?x0?[a,b]. 同时由|xn?k?xn??k|?limxnk??1，得 nkk????k?x0. 作数列： ??k?x0|?|xn??k?xn?k|?|xn?k?x0|?0（k??），又有limxn|xn

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?1,xn??1,xn?2,xn??2,?,xn?k,xn??k,? {yn}:xn?k)?f(xn??k)|??0，知极限limf(yn)不存在，这与题设矛则limyn?x0，由|f(xnn??n??盾.

6．设函数f在[a,??)上连续，且有斜渐近线，即有数b与c，使得

x???lim[f(x)?bx?c]?0

证明f在[a,??)上一致连续.

证 因lim[f(x)?bx?c]?0，由函数极限的柯西准则，???0，?N?a，使得

x???当x?,x???N时，就有|f(x?)?f(x??)?bx??bx??|??2.

又因函数bx在[N,??)上一致连续，所以???0，使得?x?,x???[N,??)，只要

|x??x??|??，就有|bx??bx??|??2，于是

|f(x?)?f(x??)|?|f(x?)?f(x??)?bx??bx??|?|bx??bx??|??2??2??

所以f在[N,??)上一致连续. 又因f在[a,N]上一致连续，从而f在[a,??)上一致连续.

练习题

1．设开区间I?(0,111?11?)，开区间族H??(,),(?,)|n?1,2,??，则266?n?2n?I的有限子覆盖是

2．设S?{x|x?(0,1)中的无理数}，则S的聚点是 3．设区间I?(0,1]，开区间族H?{(x2,3x2)|x?(0,1]}，则 (A) H不是I的开覆盖；

(B) H是I的开覆盖，且存在I的有限子覆盖； (C) H是I的开覆盖，但不存在I的有限子覆盖； (D) H是I的开覆盖，也是[0,1]的开覆盖.

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