《数学分析》(华师大二版)课本上的习题7(2)

sinx?sinx??sinx?sinx???|?||?||??2??2?? x?x??x?x??sinx?sinx??????|??. 若x,x?[a,b]，由③式，有|x?x??sinx所以f(x)?在(0,??)上一致连续.

x若x?,x???(N,??)，由②式，有|4．试用有限覆盖定理证明根的存在定理.

证 设f在[a,b]连续，f(a)?0，f(b)?0. 由连续函数的局部保号性，存在

??0，使得在[a,a??)内f(x)?0，在(b??,b]内f(x)?0.

假设对任何x0?(a,b)，都有f(x0)?0，则由连续函数的局部保号性，存在x0的某邻域U(x0;?x0)?(x0??x0,x0??x0)，使得在此邻域内f(x)?0且f(x)的符号与

f(x0)的符号相同. 集合族

H?{(x??x,x??x)|x?(a,b)}?{[a,a??)}?{(b??,b]}

是[a,b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集

H*?{(xi??i,xi??i)|i?1,2,?,n}?{[a,a??)}?{(b??,b]}

*

覆盖了[a,b]. 将H中的邻域分成两部分：使f(x)?0的邻域记为H1，使f(x)?0的

*邻域记为H2. H1的所有开区间中右端点最大的区间记为(xk??k,xk??k)，令这个最

**

??a，大的右端点xk??k??. 因为在(b??,b]内f(x)?0，所以??b，即??(a,b).

因为H覆盖了[a,b]，所以存在H中的一个区间(xi??i,xi??i)，使得

**??(xi??i,xi??i). 由于?是H1*的所有开区间右端点中最大的，故区间

*

，从而?x?(xi??i,xi??i)，有f(x)?0. 因为(xi??i,xi??i)不属于H1*而属于H2

区间(xk??k,xk??k)的右端点xk??k??属于区间(xi??i,xi??i)，所以区间

(xi??i,xi??i)必与区间(xk??k,xk??k)相交，那么在这两个区间相交的公共部分

145

(xi??i,xk??k)内f既大于零，又小于零，矛盾.

5．证明：在(a,b)上的连续函数f为一致连续的充要条件是f(a?0)与f(b?0)都存在.

证 （必要性）设f在(a,b)上一致连续，故???0，???0，当x?,x???(a,b)且

|x??x??|??时，成立|f(x?)?f(x??)|??.

于是当x?,x???(a,b)，0?x??a??，0?x???a??时，必有|x??x??|??，从而|f(x?)?f(x??)|??. 由Cauchy收敛准则，可知f(a?0)存在，同理可证f(b?0)存在.

（充分性）补充定义f(a)?f(a?0)，f(b)?f(b?0)，则f在[a,b]连续，于是

f在[a,b]一致连续，从而f在(a,b)一致连续.

P.175 习题

1．求以下数列的上、下极限：

n} 2n?12nn?sin} （3）{2n?1} （4）{n?14（1）{1?(?1)} （2）{(?1)nnn2?1?n?sin} （6）{n|cos（5）{|} nn3解 （1）数列{1?(?1)}的收敛子列的极限只有两个，分别为：2，0，故其上极限为2，下极限为0.

（2）数列{(?1)限为

nnn11}的收敛子列的极限只有两个，分别为：,?，故其上极2n?12211，下极限为? 22（3）数列{2n?1}是正无穷大量，故其上极限、下极限都为?? （4）数列{2nn?sin}的收敛子列的极限只有五个，分别为：-2，?2，0，2，n?14146

2，故其上极限为2，下极限为-2

n2?1?n2?1?n??，故其上极限、下极限都为? （5）因为limsin?lim??n??nnn??nn?nn?11n?|只取两个值：，1，所以?|cos|?1，于是，当n??时，（6）因为|cos3223有 1?nsin?1nn?n??|cos|?1，从而limn|cos|?1，故其上极限、下极限都为1.

n??2332．设{an}，{bn}为有界数列，证明： ⑴ liman??lim(?an)

n??n??证 由定理7.9，liman?liminf{an}??limsup{?an}??lim(?an)

n??n??k?nn??k?nn??⑵ liman?limbn?lim(an?bn)

n??n??n??证 设liman?A，limbn?B，由定理7.7，对任给的??0，存在N?0，当n?Nn??n??时，有an?A??2，bn?B??2，于是an?bn?A?B??. 再由定理7.8得，

n??lim(an?bn)?A?B??. 由?的任意性得lim(an?bn)?A?B.

n??⑶ 若an?0，bn?0（n?1,2,?），则limanlimbn?lim(an?bn)，

n??n??n??limanlimbn?lim(anbn)

n??n??n??证 设liman?A，limbn?B，由定理7.7，对任给的??0，存在N?0，当n?Nn??n??时，有an?A??，bn?B??，于是anbn?AB?(A?B??)?. 再由定理7.8得，

lim(anbn)?AB?(A?B??)?. 由?的任意性得lim(anbn)?AB.

n??n??同理可证：limanlimbn?lim(anbn)

n??n??n??⑷ 若an?0，liman?0，则limn??11?

n??alimannn?? 147

证 设liman?A，由定理7.7，对任给的??0，存在N?0，当n?N时，有

n??A2?A1111?A?1an?A??. 于是????，从而lim???，由?的

n??a1?A?1?A?AanAAn任意性得lim11?.

n??aAn设lim11，存在N?0，当n?N时，?B，由定理7.7，对任给的??0（??）

n??aBn1?B?111B2?B???，从而liman???，由?的有. 于是an??B??n??BBBan1?B?1?B?任意性得liman?n??111?B?，即lim.

n??aBlimannn??所以lim11?.

n??alimannn??3．证明：若{an}为递增数列，则liman?liman.

n??n??证 若{an}为递增无上界数列，则liman???. 因为liman?liman，所以也有

n??n??n??liman???.

n??若{an}为递增有上界数列，则{an}极限存在，且liman?sup{ak}. 又因为{an}是

n??k?1递增数列，所以对任何正整数n，有sup{ak}?sup{ak}，从而

k?nk?1liman?limsup{ak}?sup{ak}?liman.

n??n??k?nk?1n??4．证明：若an?0（n?1,2,?）且liman?limn??1?1，则数列{an}收敛.

n??an证

148

总练习题

1．证明：{xn}为有界数列的充要条件是{xn}的任一子列都存在其收敛子列. 证 （必要性）设{xn}为有界数列，则{xn}的任一子列都为有界数列，由致密性定理，知其存在收敛子列.

（充分性）反证法. 假设{xn}无界，则对任何正整数k，存在数列{xn}中的某项xnk，使得xnk?k（k?1,2,?），于是limxnk???，从而子列{xnk}不存在收敛子列.

k??f(x)?limf(x)?0. 证明：f在(a,b)内有最大2．设f在(a,b)内连续，且lim??x?ax?b值或最小值.

证 令F(x)???f(x)a?x?b，则F(x)在[a,b]上连续，于是F(x)在[a,b]上

x?a,x?b?0取得最大值M和最小值m.

若M?m，则F(x)在[a,b]上为常数0，从而f在(a,b)内为常数0，所以f在(a,b)内的最大值和最小值都为0.

若M?m，则因F(a)?F(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内取得，从而f在(a,b)内有最大值或最小值.

3．设f在[a,b]上连续，又有{xn}?[a,b]，使limf(xn)?A. 证明：存在

n??x0?[a,b]，使f(x0)?A.

证 因{xn}?[a,b]，故{xn}有界，由致密性定理，知其存在收敛子列{xnk}. 设

limxnk?x0?[a,b]，因为f在[a,b]上连续，所以

k??f(x0)?limf(xnk)?limf(xn)?A

k??n?? 149

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