二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题
一、技巧提炼
1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式
（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax+bx+c与x轴是否有交点，可以用方程ax+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；
2判别式??b?4ac 2
2
二次函数与x轴的交点情况 与x轴 交点 与x轴 交点 与x轴 交点 一元二次方程根的情况 方程有 的实数根 实数根 方程有 的实数根 △ ＞ 0 △ ＜ 0 △ ＝ 0 3、抛物线上有两个点为A（x1，y），B（x2，y） (1)对称轴是直线x?x1?x22
_Q (2)两点之间距离公式：
已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?， 则由勾股定理可得：PQ?_P _G (x1?x2)?(y1?y2)
22_O 练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则AB＝ 。 4、 常见考察形式
1）已知A（1,0），B（0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形； 总结：两圆一线
方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个
端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；
2）已知A（-2,0），B（1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C，使△ABC是直角三角形；
总结： 两线一圆
方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的
两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：
（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的 这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
1
S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
2
B
h a A 铅垂高 C
水平宽 6、二次函数中三角形的存在性问题
解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）
后计算
二、精讲精练
1.由动点产生的等腰三角形问题
如图，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2.由动点产生的直角三角形问题
如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
备用图
3.由动点产生的等腰直角三角形
例. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax-ax-2经过点B． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，2
求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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