山东省淄博市2017届高三上学期摸底考试数学试题(附答案)

淄博市2016-2017学年度高三摸底考试 数学试题参考答案及评分说明 2016.12

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．设集合A?xx?1?3，集合B?xx?x?12?0，则A?B?

????A.x?2?x?4 2．复数z??? B.x?2?x?4 C.x?3?x?4 D.x?3?x?4

??????2i在复平面上对应的点的坐标 1?i A.?1,?1? B.??1,1? C.??1,?1? D.?1,1? 3．下列说法正确的

A.“x?y”是“sinx?siny”的充分不必要条件

B. 命题“?x?R,x2?x?1?0”的否定是“?x?R,x2?x?1?0” C. 命题“若x?1，则x2?1”的否命题为“若x2?1，则x?1” D. “命题p,q中至少有一个为真命题”是“p?q为真命题”的充分不必要条件

4．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 A.

5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程

14222 B. C. D.

33334，5，则输出的S? 序框图，若输入的x?2，n?2，依次输入的a为3，A.10 B. 25 C. 56 D. 64

6．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示?ABC的面积，若

S?3222(a?b?c)，则角A? 4A.30? B.60? C.120? D.150?

?y?x?7．已知x,y满足?x?y?2?0，且z?y?2x的最大值比最小值大6，则a的值是

?x?a?A. 1 B.2 C. 5 D.?2 8．（文科）下列函数中，周期为?，且在[A.y?cos(2x???,]上为减函数的是

42?) B.y?sin(2x?) C.y?sin(x?) D.y?cos(x?)

2222???8．（理科）已知函数f(x)?a?2sin(?x??)，f(x??)?f(?x)且f(?)?1,则a?

48?A.?1或?3 B. ?1或3 C.1或?3 D.1或3

MCA9．在边长为1的等边三角形?ABC中，点M在边AB上，且满足BM?3MA，则CA.

?

2575 B. C. D.

3688x210．（文科）已知函数f(x)?e?(x?1)（e为自然对数的底数），则f(x)的大致图象是（ C ）

2??(lnx)??lnx??2,x?010．（理）设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f(x)??，若

x??2?x?a,x?0f(x)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为

A. a?1 B.a?1 C. a?1 D. a?1

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（文科）点A为周长等于6的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧

1AB的长度小于1的概率为______．

3 a1411．（理科）若?(1?2)dx?(a?1)，则a的值是 3 ．

1x312．已知x?(??424,0)，cos(??x)??，则tan2x? ? ． 25713．已知向量a?(3,4),向量b满足|a?b|?2,则|b|的取值范围是 ?3,7? . 14．已知数组(),(,),(,,),???,(,111221123321123n?2n?1n,,???,,,),???，分别记为

nn?1n?2321(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),???，则a2016? 63 ．

15．设f(x)?ex?e?x,当???0,?2???时，ft???sin??cos??2????2?f(t?1)?0恒成立,则实???数t的取值范围是 (?2,1 ) ．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，角?的始边与x轴的非负半轴重合，

终边与单位圆交于点P(x1,y1)，其中??(0,原点O按逆时针方向旋转

?2)．将射线OP绕坐标

?后与单位圆交于点Q(x2,y2)， 记3f(?)?x1?x2，先将f(?)图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将

所得的图象向左平移

?得到g(?)． 3(Ⅰ)求函数g(?)的解析式及值域；

(Ⅱ)设?ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若f(C)?3且C为锐角，2a?3,c?1，判断?ABC的形状．

解：（Ⅰ）由三角函数定义得，x1?cos?,x2?cos(??)………………2分

3?所以f(?)?cos??cos(???13?)?cos??sin??sin(??)………4分 3226f(?)?sin(??)图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到

6?1?1?y?sin(??，再向左平移)得到g(?)?sin(??) ……………….5分

32623?因为??(0,?2)，所以

?2???7?3?(,)，故g(?)?(,1]……………….6分 33122（Ⅱ）由f(C)??3及C为锐角，得C? ………………………………….8分

62由余弦定理，1?3?b2?3b，得b?1或b?2 ……………………………10分 当b?1时，?ABC是等腰三角形；当b?2时，?ABC是直角三角形

所以?ABC为等腰三角形或直角三角形． ……………………………………12分 17．（文科 本题满分12分）

某高校选取50名在校大学生进行专项技能测试，由测试成绩得到的频率分布直方图如图所示．其中测试成绩在?70,80?,?80,90?,?90,100?内的人数之比为9:7:3． （Ⅰ）估算此次测试成绩的中位数和众数；

（Ⅱ）学校组织测试成绩在?90,100?内的学生进行操作展示，每名学生随机抽取“项目A”或“项目B”中的一项进行展示，求恰好有两名学生抽到“项目A”进行展示的概率． 解：（Ⅰ）前三个小组的频率之和为

0.04?0.08?0.20?0.32，

所以要从第四个小组找中位数，第四小组的频率为0.30 所以中位数应该在第四小组左起长度的

0.18?0.6处 0.30所以这50名在校大学生测试成绩的中位数为：60?0.6?10?66（分）……3分 由于落在?60，70?的频率最高，所以众数为（Ⅱ）设测试成绩在?90,100?内的人数为3x

则测试成绩在?70,80?，?80,90?内的人数分别为9x和7x

依题意得?0.004?0.008?0.020?0.030??10?50?9x?7x?3x?50， 解得x?1，所以测试成绩在?90,100?的学生有3人 ………………………6分 若用A表示选取“项目A”，用B表示选取“项目B” 这3名学生选取操作的所有可能为：

60+70=65（分）. …………4分 2?B,B,B?,?B,B,A?,?B,A,B?,?A,B,B?,?B,A,A?,?A,B,A?,?A,A,B?， ?A,A,A?,共8种

而恰好有两名学生抽到“项目A”的有：

?B,A,A?,?A,B,A?,?A,A,B?，共3种 ……………………………10分

所以恰好有两名学生抽到“项目A”进行展示的概率为P?17．（理科 本题满分12分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足a1?2,

3.………12分 8Sn?1Sn??1,n?N*. n?1n（Ⅰ）判断a2，a8，S4是否为等比数列的连续三项，并说明理由． （Ⅱ）设bn?解：（Ⅰ）由

an，求数列?bn?的前n项和Tn． an?12Sn?1SnS?S???1，所以数列?n?是首项为1?2, 公差为1的等差数列 n?1n1?n?所以

Sn?2??n?1??1?n?1. 所以Sn?n?n?1?………………………2分 n当n?2时, an?Sn?Sn?1?n?n?1???n?1?n?2n 而a1?2适合an?2n，所以an?2n，Sn?n?n?1?因为a2?4，a8?16，S4?20，所以162?4?20

所以a2，a8，S4不是等比数列的连续三项. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，an?2n，bn?所以Tn?

………4分

an2nn??…………………8分 2an?122n?14n

123n?1n?2?3?L?n?1?n① 444441123n?1nTn?2?3?4?L?n?n?1② ……………………8分 444444①?②得：

1?1?1???31111nn1?1?n4?4n?Tn??2?3?L?n?n?1??n?1??1?n??n?1

144444443?4?41?4所以Tn?4?1?n. ………………………………………12分 1???n?n9?4?3?418．(本题满分12分)

响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生

产x万件，需另投入流动成本为C(x)万元．在年产量不足8万件时，C(x)?元)；在年产量不小于8万件时，C(x)?7x?12x?2x（万3100?37 x（万元）．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．

（Ⅰ）写出年利润P(x)（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；

（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（Ⅰ）因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得 当0?x?8时，P(x)?6x??1?12?x?2x??2??x2?4x?2 ……………2分

3?3?当x?8时，P(x)?6x??7x???100??100??37??2?35??x?? ……………4分 xx????12?x?4x?2,0?x?8??3所以P(x)?? ………………………………5分

100?35?x?,x?8?x?（Ⅱ）当0?x?8时，P(x)??12?x?6??10 3此时，当x?6时，P(x)取得最大值P(6)?10(万元) …………………8分 当x?8时

100100?100?x?（当且仅当，即x?10时，取等号） P(x)?35??x??35?2x??15?xx?x?即x?10时，P(x)取得最大值15万元 ………………………………11分

因为10?15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． ………………………………………………12分 19．（文科 本题满分12分）

四棱锥H?ABCD中，平面ABCD?平面

ADH，

?BCD?60，

AB?BC?CD?DA?2HA?2HD?2，

点E、G分别是BC、DH的中点，

CF:FH?1:2

（Ⅰ）求证：BG平面DEF；

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