线性代数模拟试题及答案(3)

班级： 姓名： 学号：

21?344?65?124?220?3103

2．计算n+1阶行列式

010a11?1100a2?11??????000?11000?an?11100?0an

1?11

四、（10分） 得分

阅卷人

已知A，B为3阶矩阵，满足aB?bA?BA，其中a和b都是不为0的常数 （1） 计算(B?bE)(A?aE)，其中E是3阶单位矩阵 （2） 证明A?aE及B?bE均可逆；

?1? （3） 若a?2，b?4，B??1?0??2200??0?，求矩阵A。 2??五、（10分） 得分

?1?3设 A???2??02?14170143 2?101阅卷人

??? ???

1．求矩阵A的秩；

2．判别A的列向量组的线性相关性；

3．求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组； 六、（12分） 得分 阅卷人

141

班级： 姓名： 学号：

?x1?2x?1?求非齐次线性方程组?3x1?4x?1??5x1?2x?x22?x3?3x3?3x?4x?2x-15x?11x44444?x5?x5?x5?6x5??????514?1132?41?x2-7x?5x22?x3?8x?6x33

通解，并指出对应齐次方程组的基础解系。

七、（14分） 得分

已知二次型

阅卷人

f(x1,x2,x3)?x1?4x2?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3222

1．写出二次型的矩阵A，并写出二次型的矩阵表达式； 2．求A的全部特征值；

3．求一个正交变换X?PY将二次型化为标准形；并指出二次型的正定性。

八、证明下列各题（每小题5分，共10分）

得分 阅卷人

1．设n阶矩阵A与B相似，证明AT与BT相似 2．设3维向量组?1,?2,?3线性无关，b1证明：b1,b2,b3线性无关

??1??2,b2??2??3,b3??3??1，

《 线性代数期末模拟试题四 》

一、填空题（本题18分，每小题3分） 得分

阅卷

142

班级： 姓名： 学号：

11222231333231444231、若A?111， 则A? 。

2、若对一个矩阵实施一次行变换等价于在该矩阵的 边乘以一个相应的初等矩阵。

3、A为四阶的方阵，且A?k,A*是它的伴随阵，则A*? 。

?1?0初等变换?4、矩阵A??????0??02－10001a?103??1?，则该矩阵的秩至少是?3??a?1?。

5、设n阶矩阵A???1?2 A1???1?2

6、若2，4，6，8是四阶矩阵A的4个特征值，则矩阵(A?3I)的4个特征值

。

?3??3??n?1?n?的行列式A?0，

?n?1?，则方程组A1X??n（有，无）解

二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题3分，共18分） 得分 阅卷人

1、设矩阵A???,?,??，行列式A?3，若矩阵B?(3?,???,?2???)

行列式B?（ ）

（A）?18 ； (B)?81 ； (C) –24 ； (D) -216 。

143

班级： 姓名： 学号：

2、设A、B、C为n阶矩阵，且矩阵A可逆，则下列四个结论中不正确的是（ ）。 (A) AB?BA； (B) 若AB?AC,则B?C； (C) 若AC?0,则C?0； (D) 若 AB?0，则B?0。

3、设非齐次线性方程组AX?b的系数矩阵A是m?n矩阵,且秩（A）?r,则方程组（ ）。

（A）在r?m时一定有解； （B）在m?n时有唯一解； (C) 在r?n有无穷解； （D）在r?n时有唯一解。 4、向量组?1,?2,?,?m线性无关的充分必要条件是（ ）。

(A) 存在一组全不为零的数k1,k2,?,km，使等式k1?1?k2?2???km?m?0成立； (B)存在一组全为零的数k1,k2,?,km，使等式k1?1?k2?2???km?m?0成立； (C)每个?i都不能用其他向量线性表示； (D)有线性无关的部分组。 5、若I?A2?0其中A是n阶矩阵，则下列四个结论中正确的是（ ）。 (A)?1都是A2的特征值 ； (B) 1是A的特征值； (C) -1或1至少有一个是A的特征值； (D) -1是A的特征值

6、n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，则下列四个结论中不正确的是（ ）。

(A) A与B有n个相同特征值； (B) A与B有相同的特征向量； (C) A与B有相等的行列式； (D) A与B有相同的秩

三、计算（每小题6分，共12分）

得分

阅卷人

144

班级： 姓名： 学号：

aba000000abbb00babb00bbab00bbba11322?5?9?1?43440b1、

201 2，

0000

四、（11分） 得分

设向量组

?4?

2,阅卷人

3?,?2???1,?1?,?5?

1,2,5,9,3?,?3??0,8??1,?4,?3?,?1??2,1,?1,0,?2,?1,试求：

（1）该向量组的秩；

（２）该向量组的一个最大无关组；

（３）将向量组中不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 五、（12分） 得分 阅卷人

x1??x2??x2?试求方程组?2x1?x2??3x1??1???x2???x3?x4?0?x3?0?x3?2x4?0??1???x3??x4?1

当?为何值时有唯一一组解、无解或有无穷多组解 ? 并在有无穷多组解时求其通解。 六、（10分） 得分 阅卷人

矩阵A、B、C满足ABAT?2BAT?C??1?A?0???00100???2,?1???0?C?1????121?1求B。其中?1??1??1??

七、（14分） 得分

阅卷人

145

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