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设非齐次方程组Ax??有解?1,?2,?3,其中
?1??1,2,3,4?,?2??3??0,T1,2,3?，并且R(A)?3,
T试回答：
（1）非齐次方程组Ax??是几元的？
（2）若Ax?0是Ax??对应的齐次方程组，则写出它的一个基础解系。 （3）写出方程组Ax??的通解。
《 线性代数期末模拟试题二 》
一、填空题（6×4=24分），将答案填在横线上。 得分
?211．若A?????12101??T0 ,则AA??0?? 阅卷
x1??x1?x2?x3?3?2．方程组?x1 ?x3?2 的唯一解为 x2? ?x?x?x?5x3?23?1?1?13．??0??0320000320??0?1??1?253?1a0ab000abb00a?? 4．
b00
?1?5．若A??3??21??2,|B3?3|?0,则R(A)??1?? , R(B)? , R(AB)?
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6．若A2?A?7E,则A?1?
二、方程组（12分） 得分
当k为何值时，方程组
??x1?x2? x3?1 ??2x1?kx2?2x3?0?kx?2x? x?k23?1 , (A?2E)?1?
阅卷人
1．有唯一解；2．有无穷多解；3．无解。
三、（10分） 得分 阅卷人 设
?2?A?1???20230??3??0 , C?1???2???1?B?A22??3?4??
1．已知AB?E ，求BY 阅卷人
2．已知AY?Y?C ，求四、（12分） 得分
??1?A?0设???2012
2??2 , 求正交矩阵?0??
Q和对角阵?，使Q?1AQ??。
五、（8分） 得分
阅卷人
?1??3??k??????1 , ?2?k , ?3?3 , A?[?1,?2,?3] 设向量组?1????????????3???1???k??1．|A|=
2．该向量组线性无关的充要条件是k满足
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3．方程组Ax=0有非零解的充要条件是k满足k=3 ork=-4 4．若Ax=0的基础解系为[1，1，1]，则k=
T
。
六、单项选择题（5×2=10分） 得分 阅卷人
在括号内填上唯一选择项的代号：
1．设3个同阶方阵A，P，Q分别为对称阵，可逆阵，正交阵，下列四个矩阵变换中，保持A的秩、行列式的值、特征值和对称性都不变的矩阵变换是（ ）。
(1)P?1AP?B, (2)PAQ?C, (3)PAP?F, (4)QT?1AQ?H
2．设A，B均为n阶方阵，在下列各项中只有（ ）正确。 （1）若A≠0，B≠0，则AB≠0；
（2）若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵； （3）若AB不可逆，则A和B都不可逆；
（4）若AB可逆，则A和B都可逆
3．设n阶矩阵A，B，C满足关系式ABC=I,则（2 ）成立。
(1) ACB=I ; (2) BCA=I ;(3) BAC=I ; (4) CBA=I。
4．设A??aij?m?n , B??bij?n?m，则（ 3 ）。
（1）当m
（1）A的列向量组线性无关； （2）A的列向量组线性相关；
（3）A的行向量组线性无关；（4）A的行向量组线性相关。 七、（12分） 得分 阅卷人 设
f(x1,x2,x3,x4)?5(x1?x2)?k(x3?x4?2x1x2)?4x3x4
22221．求该二次型对应的对称阵A；
2．当k满足什么条件时A正定？
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八、证明下列各题（2×6=12分） 得分
阅卷人
P和q1．证明：若n阶实对称阵A的两个不同的特征值?和?对应的特征向量依次为则p和q正交。
2． 设A和B都是n阶方阵，x为n维向量，r(AB)?r(B)?r,则(AB)x?0与Bx?0 同解，
。
《 线性代数期末模拟试题三 》
一、填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）
得分 阅卷人
1．设aij(i,j?1,2,?,n)为n阶行列式D的元素，Aij为元素aij的代数余子式，则
ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn? （其中i?k?2与矩阵?0???00500??0相似，A?1??）。
2．设3阶矩阵A的特征值为 。
3．设A为n阶矩阵，若 ，则称 A为正交矩阵。
4．n元非齐次线性方程组Ax?b存在解的充分必要条件为 。
二、选择填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分） 得分 阅卷人
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1.设A和B均为n阶矩阵，则下列结论正确的是（ ） (A)A?B?A?B ； (B)(A?B)2?A2?2AB?B2； (C) kAB?kAB ； (D) kAB?knAB 。
2.设A为n阶方阵，且R(A)?n?1，?1,?2是非齐次线性方程Ax?b的两个不同的解向量，则Ax?b的通解为（ ）（其中k、k1、k2为任意常数） (A) k?1??2 (B) k1?1?k2?2??1 (C) k(?1??2)??1 (D) k(?1??2)??2
?a11a3. 设A???21??a31?0?P1?1???0?10(A) ????1100010a12a22a32a13??a21??a23，B?a11???a33???a31a22a12a32a23?a21??a13?a11， ?a33?a31??0??0，且有P1AP2?B，则P2?（ ）。 ?1??0??1??0 (B) 0???1????10100??0 (C) ?1???1?0???00101??1??0 (D) 0???1???0010?1??0 ?1??
4.设A为n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中（ ）
(A) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(B) 必有一列元素全为0； (C) 必有两列元素成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的线性组合。 三、（每小题6分，共12分）计算下列行列式 得分 阅卷人
1．计算4阶行列式
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