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《 线性代数期末模拟试题一 》
一、填空（本题20分每小题2分） 得分
阅卷人
1．设det(aij)为四阶行列式,若M23表示元素a23的余子式，A23表示元素a23的代
数余子式，则M23+A23= 。
a110a220a130中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该a332．三阶行列式0a31三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n阶行列式
（填成立或不成立）。
3．设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3),记矩阵
B?(?1?2?2,?2??3,?1??3)，若B?6，则A?。
?2?4．设矩阵A??0??1?1??1??3?,B??7??12???4232???10?,C???8??1?75?2?T?，则AB?2C??4?。
5．设矩阵A可逆，且矩阵C?AB，所以矩阵C一定可以由矩阵B经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组?1,?2,,?3,?4，若R(?1,?2,?3)?2,可以由向量
R(?2,?3,?4)?3, 则?1一定
唯一的线性表示。
131
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7．非齐次线性方程组Ax?b有 唯一的解是对应的齐次方程组Ax?0只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A的行列式A?0 ，则矩阵A一定有一个特征值9．n阶矩阵A有n个特征值1，2，?,n，n阶矩阵B与A相似，则B?。 。
10．向量组：p1?12?1,1?,p2?12?1,?1?
（填是或不是）向
量空间R2一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）
注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！ 题号 答案序号
1．设矩阵A为n阶方阵，则关于非齐次线性方程组Ax?b的解下列说法（ ）不正确
（A） 若方程组有解，则系数行列式A?0; （B） 若方程组无解，则系数行列式A?0;
（C） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;
1 2 3 4 5 132
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（D） 系数行列式A?0是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A为n阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A） (2A)T?2AT； (B) (2A)?1?2A?1； (C) [(A?1)?1]T?[(AT)]?1；(D) [(AT)T]?1?[(A?1)?1]T。
3. 奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变。 (A) 初等变换； (B) 左乘初等矩阵；
(C) 左、右同乘初等矩阵； (D) 和一个单位矩阵相加。
4．设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则有（ ）。
(A) A的列向量组线性无关；
(B) 增广矩阵B的行向量组线性无关；
(C) 增广矩阵B的任意4个列向量组线性无关； (D) 增广矩阵B的列向量组线性无关。 5．设??2是非奇异矩阵
?1?则矩阵?A2?A的一个特征值，
?3??1有一个特征值为 ( )
(A) 4/3； (B) 3/4；(C) 1/2； (D) 1/4。
三、计算（2道题，共16分）
321．设行列式D=
02?73420?2020，求M31?M32?M33?M34（其中205M31,M32,M33,M34分别是第三行各个元素的对应的余子式）。
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1b1b22．计算
1a1b2?bn?1bn得分
1a1a2?bn?1bn
1a1a2?bn?1bn??????1a1a2?an?1an
0201??0? 1??n?1 （n?1)
bn-1bn
四、（本题12分）
阅卷人
?1?A?已知A，B为3阶矩阵，E表示3阶单位阵，且?0??1?（1） 求A?1 ；（2）证明矩阵(A?E)为逆矩阵；
（3）若矩阵A，B满足AB?E?A2?B，证明B?A?E。
五、（本题12分） 问k取何值时，方程组
得分
阅卷人
??x1?x2?2x3?3x4?1??x1?3x2?6x3?x4?3?3x1?x2?kx3?15x4?3 ??x1?5x2?10x3?12x4?1⒈有唯一解；2.有无穷多解，并求通解。
六、（本题10分）
得分
阅卷人
134
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向量组A：?1,?2,?3,?4,由四个向量组成，其中
?1????1???1?1?， ???3?????1??3???2?????????3??2???6?，，?????3??1??4?10?， 25????????1??4??2????????求：（１）向量组A的秩RA；（2）向量组A线性相关性；（3）向量组A的一个最大无关组。
七、（本题10分）
得分
阅卷人
已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?x32?2ax2x3?2x1x3（其中a为待定系
数）经过正交变换x?Py化为f?2y22?y32，试回答下列问题：
(1) 写出二次型的矩阵A可以含待定系数a； (2) 写出A的全部特征值； (3) 利用（1）、（2）求出a的值
八、（本题5分）
得分
阅卷人
在R中，取两组基
?组：?1?(1,0,?1)T，?2?(1,?1,0)T，?3?(0,1,?2)T ?组：?1?(2,1,0)T，?2?(?1,2,1)T，?3?(1,1,0)T
若向量b在基?1,?2,?3下的坐标为?1,?1,?1?，求它在基?1,?2,?3下的坐标
九、（本题5分）
得分
阅卷人
135
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