北师大版八年级下册数学第一章周测试题(4)

19．（2016春?东港市期末）等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为 36°或90° ．

【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：

当∠A=∠C为底角时，x+x+2x=180°解得，x=45°，顶角∠B=2x=90°； 当∠B=∠C为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°，顶角∠A=x=36°． 故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°． 故3答案为：36°或90°． 20．（2016?河北模拟）如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 8 ．

【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°， ∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个． 故答案为8．

三．解答题（共10小题） 21．（2016?西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=

．

求证：AB平分∠EAD．

【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴BD=BC，AD⊥BC，

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∵BE=BC，

∴BD=BE， ∵AE⊥BE，

∴AB平分∠EAD． 22．（2016?徐州模拟）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：△OAB是等腰三角形．

【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴∠D=∠C=90°，

在Rt△ABD和Rt△BAC中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴∠DBA=∠CAB， ∴OA=OB，

即△OAB是等腰三角形．

另外一种证法：

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴∠D=∠C=90°

在Rt△ABD和Rt△BAC中

∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL） ∴AD=BC，

在△AOD和△BOC中

，

∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴OA=OB，

即△OAB是等腰三角形．

23．（2016春?太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．

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【解答】解：∵AB=BD， ∴∠BDA=∠A， ∵BD=DC， ∴∠C=∠CBD， 设∠C=∠CBD=x， 则∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180°﹣4x，

∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°， 解得：x=25°，所以2x=50°， 即∠A=50°，∠C=25°． 24．（2016春?埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°． （1）求∠NMB的度数；

（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数； （3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠ACB=70°，

∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M， ∴MN⊥AB，

∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°， ∴∠ABC=∠ACB=55°，

∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M， ∴MN⊥AB，

∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；

（3）∠NMB=∠A．

理由：∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=

，

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∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M， ∴MN⊥AB，

∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．

25．（2016春?鄄城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E． 求证：△BDE是等腰三角形．

【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC， ∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD， ∴∠EAD=∠EDA， ∵BD⊥AD，

∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA ∴∠EBD=∠BDE， ∴DE=BE，

∴△BDE是等腰三角形． 26．（2016春?深圳校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形．

【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE=DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF）， ∴∠B=∠C，

∴△ABC为等腰三角形．

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27．（2016春?吉安校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高． （1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．

（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明： （3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？

【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下： ∵D为BC中点， ∴BD=CD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在△BED和△CFD中

，

∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF．

（2）DE+DF=CG． 证明：连接AD，

则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，

∵AB=AC， ∴CG=DE+DF．

（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG． 理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD， 即AB?DE=AB?CG+AC?DF

∵AB=AC， ∴DE=CG+DF， 即DE﹣DF=CG．

同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．

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