材料力学习题综合(4)

答疑 低碳钢扭转破坏时横截面有最大的剪应力，在与轴线成45度角的螺旋面上有最大拉应力，但低碳钢扭转破坏的断面位于横截面，低碳钢试件是被剪断的，而不是被拉断的，说明低碳钢的抗剪能力低于抗拉伸能力。

12、长为L，直径为D的圆轴受扭，在两端截面的扭转角为Φ，材料的剪变模量为G，则圆轴的最大剪应力为 。 答案ΦGD/2L

答疑 由圆轴扭转变形的虎克定律Φ=ML/GIP,整理得到圆轴的横截面上的扭矩为M=ΦGIP/L ，代入圆轴扭转的最大剪应力计算公式ηmax=M/Wt得到ηmax=ΦGIP/(LWt) 考虑到IP/Wt=D/2 固圆轴的最大剪应力ηmax=ΦGD/2L。

简述 扭转剪应力

1、解释下列名词：剪应力互等定理；

答案 在单元体相互垂直的两平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，方向同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。

2、直径相同、材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大剪应力、扭转角、极惯性矩是否相同？

答案 最大剪应力相等、扭转角不同、极惯性矩相同。

答疑 最大剪应力ηmax=M/Wt与扭矩成正比，与抗扭截面系数成反比，在扭矩相同、直径相等的条件下，不同材料的两根实心圆轴的最大剪应力相等；扭转变形的扭转角θ＝ML/GIP不仅与扭矩、杆长、截面尺寸有关，还与材料有关，在扭矩相同、直径相同、杆长相等、材料不同的条件下，两轴的扭转角不同；截面的极惯性矩IP＝πd4/32只与横截面的尺寸有关，与材料无关，固在直径相等的条件下，不同材料的圆轴的极惯性矩相同。

3、在减速箱中,常见到高速轴的直径较小,而低速轴的直径较大。为什么?

答案 根据轴传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。所以高速轴的直径小、低速轴的直径要大。

4、画出下列低碳钢、铸铁、圆木在扭转变形下的破坏面方位，并阐述破坏由何种应力引起的,为什么会沿此方位破坏。

答案 各破坏面方位见图中红线所示

答疑 普通碳钢扭转破坏的断面位于横截面，在横截面上有最大剪应力，碳钢的抗剪能力低于抗拉能力，是被剪断的；

铸铁扭转破坏的断面位于＋45度角的螺旋面，在此方位上有最大拉应力，铸铁的抗拉能力低于抗剪能力，是被拉断的；

圆木破坏的断面位于纵向面内、顺纹理的方位，圆木的材料属于各向异性，在纹理的方位抗剪能力差，被剪断的。

5、判断下列低碳钢的二种破坏形式，分别为什么变形下的破坏？

答案 a图为低碳钢的拉伸破坏、b图为低碳钢的扭转破坏

答疑 图示中的两种破坏形式的断面均位于横截面，但a图中断面处的横截面尺寸变小了，明显的出现了颈缩现象；图b中断面处的尺寸没有变化，只是沿横截面发生破坏，是由剪应力引起的破坏，即扭转破坏。

6、分别画出圆截面铸铁杆件在拉伸、压缩、扭转破坏时的断面方位。 答案 拉伸 压缩 扭转

答疑 铸铁试件在拉伸破坏时是由于横截面上的最大拉应力引起破坏；压缩破坏是由与在轴线大约成45度角的斜面上存在最大剪应力，由最大剪应力引起破坏；扭转变形时，在与轴线大约成45度角的螺旋面上存在最大拉拉应力，由最大拉应力引起的破坏。

7、若轴传递的功率和轴的材料不变，而转速增加，则轴的直径应如何改变？ 答案 应减小轴的直径。

答疑 根据传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。

8、圆截面试件受扭如图，说明a、b、c、d四种破坏形式各发生在什么材料制成的试件上，并说明破坏的原因。

答案 a木材、b低碳钢、c铸铁、d铸铁

答疑 裂纹a的方向与轴线平行，说明此方位的抗剪能力差，固顺a方向破坏的材料是木材、且是木材的顺纹方向；

裂纹b位于横截面上，在横截面上有最大的剪应力，是典型的低碳钢扭转破坏的断面； 裂纹c、d与轴线大约成45度角，是典型的铸铁扭转破坏的方位，但在图示中力偶的作用下，铸铁破坏的方位应该是裂纹c方位，如果外力偶与图示中的外力偶反向时，铸铁破坏的方位是裂纹d的方位。

9、低碳钢圆试件在受扭时，在纵、横截面上的剪应力大小相等，为什么试件总是在横截面被剪断？

答案 低碳钢试件在受扭时横截面上有最大的剪应力，低碳钢材料的抗剪能力低于抗拉能力，固断口位于横截面上，被剪断。

在试件的纵、横截面上有大小相等的剪应力，但试件却在横截面上被剪断，因为圆轴的纵向长度总比横向尺寸大的多。圆轴扭转时，在圆轴的表面存在最大剪应力，由于材料的抗剪能力差，即在表面有弱点（缺陷或横截面较小）处开始有裂痕。由于材料的各向同性以及在纵、横面上有最大的剪应力，裂纹可以向纵、横方向发展。如在纵向发展，使较长的纵剖面削弱较小，应力的改变甚微。如果裂纹向横向发展，却意味着削弱了轴的抗扭刚度，同时增加横截面上剪应力的数值，增大的剪应力又进一步扩展裂纹，直至破坏。固圆轴的裂纹容易使横截面削弱，促使横截面上的应力急剧增加，最终在横截面裂开。 10、如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，扭转时裂纹会在什么方向上？ 答案 如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，此时钢轴具有方向性，破坏时可能与竹、木材一样，在纵截面上出现剪切裂纹。

11、内外径之比为4：5的空心圆轴，若外径D不变，壁厚增加1倍，则该轴的抗扭强度和抗扭刚度分别提高多少？

答案 抗扭强度和抗扭刚度分别提高不到1倍。

答疑 α=d/D=0.8 、D－d=2t ，D-0.8D=2t 壁厚为 t=0.1D 。当外径D不变，当壁厚增加1倍时有 t’

’’’3

=2t=0.2D。α=d/D=(D-2t)/D=(D-0.4D)/D=0.6 。根据最大剪应力的计算公式：ηmax=M/Wt=16M/πD(1-α4)＝16M/πD3(1-0.84) ηmax’=M/Wt＝16M/πD3(1-α’4)= 16M/πD3(1-0.64) ηmax/ηmax’

44

=(1-0.6)/(1-0.8)=0.8704/0.5904=1.47。

θ=T/GIP×180/π=32T/GπD(1-α)×180/π,固扭转刚度与1-α成反比。θ/θ=1.47。

12、用某种塑性很好的材料制成的扭转圆试件，在扭转后，试件表面的母线变成了螺旋线。问母线有没有伸长？试件的长度和直径有无变化？

答案 母线伸长、试件的长度和直径没有变化。

答疑 取长为dx微段为研究对象，受力之前，微段的母线长为dx，受力后，母线发生倾斜（图示中的红线所示），长度有所增大，固圆轴的母线伸长。

4

4

4

’

在扭转试验中观察到的现象是：任意两横向线的大小不变、间距不变；由任意两横向线的大小不变，说明试件的横截面的尺寸没有发生变化，直径无变化；由间距不变，说明在两横截面之间没有发生拉伸或压缩现象，固试件的总长度没有变化。

13、两种材料在交界面牢固结合而形成的组合圆轴的横截面。已知：两部分的截面惯性矩分别为IP1和IP2，剪切弹性模量G1＝2G2，承受的扭矩为M。问应如何推导此组合横截面上的剪应力计算公式？横截面上的剪应力如何分布？

答疑 此问题为静不定，采用三关系法。设两部分各自承担的扭矩分别为M1和M2，两部分共同承担扭矩M，则得到静力学方程为M＝M1＋M2；二部分各自的扭转角为Φ1＝M1L/G1IP1,Φ2=M2L/G2IP2；变形协调关系为：扭转角相等Φ1＝Φ2。由物理关系和变形协调关系联合得到M1L/G1IP1＝M2L/G2IP2 ，将G1＝2G2代入后得到补充方程为： M1/2IP1＝M2/IP2；将补充方程与静力学关系联立求解得到：M1=2IP1M/(2Ip1+IP2)、M2=

IP2M/(2Ip1+IP2)，在各自的内力的作用下，横截面上的剪应力各自按线性分布，与半径成正比、与半径垂直，方向顺扭矩的方向。

1部分的最大剪应力为η1max=M1d/2/Ip1=Md/(2Ip1+IP2)；2部分的最小剪应力为η2min=M2d/2/IP2

=Md/2(2Ip1+IP2)，比1部分的最大剪应力要小；2部分的最大剪应力为η2max=M2D/2/IP2=MD/2(2Ip1+IP2)。固横截面上剪应力的分布规律如下：

14、为什么实心扭转的剪应力计算公式η=Tρ/IP只能在线弹性范围内适应，而薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式却在线弹性、非线性弹性、弹塑性情况下都能适应？ 答疑 因为在推导实心圆轴的扭转剪应力计算公式η=Tρ/IP时，应用了剪切虎克定律，而虎克定律的适用范围是线弹性范围；薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式的推导过程中只利用了静力平衡，适用于变形过程中的任何阶段。

15、从弹性范围应力分布的角度，说明扭转时为什么空心圆轴比实心圆轴能充分发挥材料的作用。如果圆轴由理想弹塑性材料制成，当扭转到整个截面均屈服时，空心圆轴是否仍然比实心圆轴能较充分发挥材料的作用？

答疑 从圆轴扭转的剪应力的分布规律看：实心圆轴在距离圆心较近处，剪应力数值很小，这一区域内的材料没有充分发挥作用；空心圆轴的最小剪应力在内径上，整个横截面上没有很小的剪应力存在，所以在线弹性范围内，空心圆轴比实心圆轴能够充分发挥材料的作用。

如果圆轴由理想弹塑性材料制成，圆轴最先由外径开始屈服，屈服的区域逐渐向圆心靠近，当扭转到整个截面均屈服时，剪应力在横截面上均匀分布，各处剪应力的大小均等于材料的屈服极限ηS。此时实心圆轴比空心圆轴承担的扭矩要大，实心圆轴的材料能够充分发挥作用。

16、说明：承受扭矩的两根圆轴，一根为封闭的薄壁圆环型截面、另一根为开口薄壁圆环截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。

答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。

17、铸铁材料的圆轴受扭，画出A点破坏时断口的方位。

答案 断口方位如图中红线所示

答疑 圆轴在扭转变形时，在横截面上有最大剪应力，在与轴线成45度角的方位上存在最大拉应力，由于铸铁材料的抗拉能力低于抗剪能力，所以在A点沿与轴线成45度角的方位上出现裂纹。 18、铸铁试件在纯扭转时，沿与轴线大约成45度角的螺旋线方向断裂；轴向压缩时，沿与轴线大约成45度角方向断裂。请说明两者破坏的原因，并比较此材料抗拉、抗剪、抗压能力之间的关系。 答疑

19、请改正图中的错误。

答案

答疑 低碳钢试件破坏的断面位于横截面，邻近破坏时，横截面上的剪应力几乎均匀分布，大小为材料的强度极限；铸铁试件破坏的断面位于与轴线大约成＋45度角的方位，邻近破坏时的剪应力仍然线性分布，但最外圈的剪应力首先达到材料的强度极限。

20、实心轴和空心轴的横截面面积相等，受相同的扭矩作用，比较两个轴上的最大剪应力。 答案 实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。

答疑 由实心轴与空心轴的横截面面积相等有，πd12/4=π(D2-d22)/4, 整理得到：d12=D2-d22=D2(1-α2)，

33422

实心轴的抗扭截面系数为：Wt1 =πd1/16 空心轴的抗扭截面系数为： Wt2=πD(1-α)/16=πD(1-α)D(1+

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