2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2014/9/3
π
x－?在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、4．用五点法作函数y＝sin??6?π??2π??7π??5π??13π，0? ?________、________答案：6，0 ?，1? ?，0? ?，－1? ?????3??6??3??6?三、考点突破：
考点一、求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
ππ
ω＞0，－＜φ＜?的部分图像如图【例1】 1.(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?22??所示，则ω，φ的值分别是( )
πππ
A．2，－ B．2，－ C．4，－ 366
π
D．4，
3
11π5π??5π，2?代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，－＝π，解析：选A 由图知最小正周期T＝2?∴ω＝2，将图像最高点的坐标?1212??12?5ππ
＋φ?＝1，φ＝－，选A. 得sin??6?3
ππ
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的23一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
ππππ
4x＋? B．y＝2sin?2x＋?＋2 C．y＝2sin?4x＋?＋2 D．y＝2sin?4x＋?＋2 A．y＝4sin?6?3?3?6?????π
解析：选D 由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，
22πππππ5
可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－π，k∈Z，
ω23326π
4x＋?＋2. 故满足题意的是y＝2sin?6??
[类题通法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝
M－mM＋m
，b＝； 22
2π
(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：
T
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时π
与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的
23π
交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.
2考点二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 1π?【例2】已知函数f(x)＝3sin??2x－4?，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？ [解] (1)列表取值：
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x 1πx－ 24f(x) π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
π
(2)先把y＝sin x的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大
4为原来的3倍，得到f(x)的图像．
π2x＋?的图像？ 本例第(2)问变为：由函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到y＝2sin?3?? πππx＋?的图像，再把y＝sin?x＋?的图像上的点解：把y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin??3??3?3ππ1
2x＋?的图像，最后把y＝sin?2x＋?上所有点的纵坐标伸的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin?3?3???2π
2x＋?的图像． 长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin?3??[类题通法] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种作法
π3
(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，
222π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．
(2)图像变换法：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同． [针对训练]
ππ
2x＋?的图像重合，1．(2013·全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin?3??2则φ＝________.
π?x－π?＋φ?的图像，整理得y＝cos(2x－π＋φ)．∵其图解析：y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移个单位得到y＝cos?2??2??2πππππ5π
2x＋?的图像重合，∴φ－π＝－＋2kπ，∴φ＝＋π－＋2kπ.即φ＝＋2kπ.又∵－π≤φ<π，∴φ＝像与y＝sin?3??323265π5π
.答案： 66
ππ3
ω>0，－<φ<0?的最小正周期为π，且f??＝. 2．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?2???4?2(1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像．
π?2π?2×π＋φ?＝cos?π＋φ?＝－sin φ＝3，∴sin φ＝－3. 解：(1)最小正周期T＝＝π，∴ω＝2.∵f?＝cos?4??4??2?ω22
x 0 π 65π 122π 311π 12π 2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2014/9/3 ππ∵－<φ<0，∴φ＝－. 23
π
2x－?，列表： (2)由(1)得f(x)＝cos?3??图像如图所示．
π2x－ 3f(x) π－ 31 20 1 π 20 π －1 3π 20 5π 31 2
考点三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质的综合应用
π
A>0，ω>0，0<φ
?????????π2
别为它的最高点和最低点，点F(0,1)是线段MD的中点， MD·MN＝18.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间．
?????????TTπ2[解] (1)由已知F(0,1)是线段MD的中点，可知A＝2，∵MD·＝(T为f(x)MN＝4·218
的
2π
最小正周期)，∴T＝，ω＝3，∴f(x)＝2sin(3x＋φ)，设D点的坐标为(xD,2)，则由已知得点M的坐标为(－xD，
3ππ112ππππ－，0?，∴sin?－φ?＝0.∵0<φ<，∴φ＝， 0)，∴xD－(－xD)＝T＝×，则xD＝，则点M的坐标为??12??4?4431224
π
3x＋?. ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin?4??
πππ3ππ2kππ2kππ
(2)由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤3x≤2kπ＋(k∈Z)，得－≤x≤＋(k∈Z)，
24244343122kππ2kππ?∴函数f(x)的单调递增区间为??3－4，3＋12?(k∈Z)． [类题通法]函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
π
(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
22π
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小周期为T＝. ω
πππ
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调增区间；由
2223π
＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调减区间．
2
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. ππ
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．
22
π
[针对训练] 将函数y＝sin x的图像向右平移个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原
3来的4倍．这样得到函数f(x)的图像．若g(x)＝f(x)cos x＋3.
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ππ
－，?的形式； (1)将函数g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B其中A，ω>0，φ∈??22?π
－，θ0?上的最大值为2，试求θ0的最小值． (2)若函数g(x)在区间??12?
ππ13
x－?，∴g(x)＝4sin?x－?cos x＋3＝4?sin x－cos x?cos x＋3 解：(1)由题意可得f(x)＝4sin??3??3?2?2?
π
2x－?. ＝2(sin xcos x－3cos2x)＋3＝2sin?3??
πππ?πππ?－π，θ0?上的最大值为2，－，θ0?，－，2θ0－?，(2)∵x∈?∴2x－∈要使函数g(x)在当且仅当2θ－≥，03??12??12?3?23255
解得θ0≥π.故θ0的最小值为π.
1212四、当堂检测
1．(2013·浙江高考)函数f(x)＝sin xcos x＋3
cos 2x的最小正周期和振幅分别是( ) 2
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 解析：选A 由f(x)＝sin xcos x＋
π313
2x＋?，得最小正周期为π，振幅为1. cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin?3??222
π
2．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一
8个可能取值为( )
3ππ
A. B. C．0 44
π
D．－ 4
ππ
2x＋＋φ?，该函解析：选B 把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin ?4??8πππ
数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为. 424
3.函数y＝sin ωx(ω>0)的部分图像如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为( )
πππ
A. B. C. 243
D．π
解析：选A 由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，
12ππ
∴|AB|＝ymax－ymin＝1－(－1)＝2，即|AB|＝4，而T＝|AB|＝＝4，解得ω＝，故选A. 2ω2
4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________. π2Tπ
－?－?－π?＝， 解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像可知：＝?2?3??3?322π2
则T＝π.∵T＝＝π，∴ω＝3.答案：3
3ω3
π
x＋?.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；(2)不画5．(2013·安徽高考)设函数f(x)＝sin x＋sin??3?图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到． π1333
x＋?， 解：(1)因为f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝3sin??6?2222
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ππ2π2π
所以当x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取最小值－3.此时x的取值集合为xx＝2kπ－，k∈Z.
6233(2)先将y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y＝3sin x的图像；再将y＝3sin π
x的图像上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图像．
6五、课后巩固：
π
1．把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移
4个单位，得到的函数图像的解析式是( )
ππ2x－? D．y＝sin?2x＋? A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x C．y＝sin?4?4???
解析：选A 由y＝sin x图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y＝ππ
x＋?，即y＝cos 2x. sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin 2??4?4
2．(2013·全国大纲卷)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )
A．5 B．4 C．3
D．2
πT12ππ
x0＋?－x0＝，解得ω＝4. 解析：选B 由函数的图像可得＝·＝?4?22ω?4
ππ?0，π?上|φ|
A．－
311
B．－ C. 222
D.
3
2
πππ
2x＋φ＋?的图像，因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，解析：选A 由函数f(x)的图像向左平移个单位得f(x)＝sin?3??63πππ2πππ
2x－?.又x∈?0，?，所以2x－∈?－，π?，所以当x＝0时，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin?3???2?233?33?f(x)取得最小值为－3
. 2
ππ
－<θ0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若4．(2013·福建)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)??22?f(x)，g(x)的图像都经过点P?0，
?
3?
，则φ的值可以是( ) 2?
π D. 6
5π5ππA. B. C. 362
ππ
2x＋?；又函数f(x)的图像向右平移φ个单解析：选B 因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝，所以f(x)＝sin?3??3ππ35π
2?x－φ?＋?，所以sin?－2φ?＝，所以φ可以为. 位长度后，得到函数g(x)＝sin?3???3?26
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________． π?T7πππ2ππ
，0，所以2×＋φ＝π，解析：由图可知：A＝2，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图像经过点??3?41234T3
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