19课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2014/9/3

课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

一、考点梳理：

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)， x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) φ－ ω0 0 φπ－＋ ω2ωπ 2A π－φ ωπ 0 3πφ－ 2ωω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 振幅 A 周期 2πT＝ ω频率 1ωf＝＝ T2π相位 ωx＋φ 初相 φ 3．由函数y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法

二、基础自测：

π

2x－?的振幅、频率和初相分别为( ) 1．y＝2sin?4??

1π1π1π1π

A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－

π42π4π82π81

2．把y＝sinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图像，则ω的值为( )

2

1

A．1 B．4 C.

4

D．2

3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( )

11

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

22

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三、考点突破：

考点一、求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

ππ

ω＞0，－＜φ＜?的部分图像如图【例1】 1.(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)?22??所示，则ω，φ的值分别是( )

πππ

A．2，－ B．2，－ C．4，－ 366

ππ

2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的23一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )

ππππ

4x＋? B．y＝2sin?2x＋?＋2 C．y＝2sin?4x＋?＋2 D．y＝2sin?4x＋?＋2 A．y＝4sin?6?3?3?6?????

考点二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

1π?【例2】已知函数f(x)＝3sin??2x－4?，x∈R. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？

[类题通法] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种作法

π3(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，

222π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．

(2)图像变换法：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同．

π

D．4，

3

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考点三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质的综合应用

π

A>0，ω>0，0<φ

?????????的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F(0,1)是线段MD的中点， MD·MNπ2

＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间． 18

四、当堂检测

π

1．(2013·山东)将函数y＝sin(2x ＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可

83ππ

能取值为( ) A. B. C．0

44

π

D．－

4

ππ

2x＋?的图像重合， 2．(2013·全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin?3??2则φ＝________

3.函数y＝sin ωx(ω>0)的部分图像如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为 五、课后巩固：

π

1．把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移

4个单位，得到的函数图像的解析式是( )

ππ2x－? D．y＝sin?2x＋? A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x C．y＝sin?4?4???2．(2013·全国大纲卷)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( ) A．5 B．4 C．3

D．2

ππ?0，π?上|φ|

311

B．－ C. 222

D.

3

2

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ππ

－<θ0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若4．(2013·福建)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)??22?f(x)，g(x)的图像都经过点P?0，

?

5π5πππ3?

，则φ的值可以是( ) A. B. C. D.

36262?

π

?x－6??(x＝1,2,3，?，12)5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos?6??来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.

ππ

A>0，ω>0，－<φ<，x∈R?的部分图像如图所示． 6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?22??π

－π，－?时，求f(x)的取值范围． (1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈?6??

π

7.将函数y＝sin x的图像向右平移个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这

3样得到函数f(x)的图像．若g(x)＝f(x)cos x＋3.

ππ

－，?的形式； (1)将函数g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B其中A，ω>0，φ∈??22?π

－，θ0?上的最大值为2，试求θ0的最小值． (2)若函数g(x)在区间??12?

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课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

一、考点梳理：

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)， x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) φ－ ω0 0 φπ－＋ ω2ωπ 2A π－φ ωπ 0 3πφ－ 2ωω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 A 2πT＝ ω1ωf＝＝ T2πωx＋φ φ 振幅 周期 频率 相位 初相 3．由函数y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法

二、基础自测：

π

2x－?的振幅、频率和初相分别为( ) 1．y＝2sin?4??

1π1π1π1π

A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ 答案：A

π42π4π82π81

2．把y＝sinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图像，则ω的值为( )

2

1

A．1 B．4 C.

4

D．2 答案：C

3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像( )

11

A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

2211

x＋?，∴只要将函数y＝cos 2x的图像向左平移个单位即可． 解析：选C ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2??2?2

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