2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案(3)

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x),f2(x)?f(f1(x)),?,fn(x)?f(fn?1(x)),?，记Sn是由曲线y?fn(x)，直线x?1及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnSn.

n??【解析】f1(x)?xxxx,f2(x)?,f3(x)?,?,fn(x)?, 1?x1?2x1?3x1?nx11x??111xnndx ?Sn??fn(x)dx??dx??001?nx01?nx1111111??1dx??dx??2ln(1?nx)10 n0n01?nxnn11??2ln(1?n) nnln(1?n)ln(1?x)1?limnSn?1?lim?1?lim?1?lim?1?0?1 n??n??x??x??nx1?x?f)?2(y?1，)且f(y,y??y(21)(本题满分11分) 已知函数f(x,y)满足

(y?21)?(?2y)求yln,曲线

f(x,y?)所围成的图形绕直线0y??1旋转所成的旋转体的体积.

【解析】因为

?f?2(y?1),所以f(x,y)?y2?2y??(x),其中?(x)为待定函数. ?y2又因为f(y,y)?(y?1)??2?y?lny,则?(y)?1??2?y?lny，从而

f(x,y)?y2?2y?1??2?x?lnx?(y?1)2??2?x?lnx.

令f(x,y)?0,可得(y?1)??2?x?lnx，当y??1时，x?1或x?2，从而所求的体积为

2V??????

2121?y?1?dx???1?2?x?lnxdx22?x2?lnxd?2x??2??11

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

2??x2?x????lnx(2x?)?????2??dx12?12???2

??2ln2??(2x?(22)(本题满分11分)

x)422155????2ln2??????2ln2??.44???1?23?4??? 设矩阵A??01?11?，E为三阶单位矩阵.

?120?3???(I)求方程组Ax?0的一个基础解系； (II)求满足AB?E的所有矩阵B.

【解析】

?1?23?4100??1?23?4100????01?11010?01?11010?AE??????? ?120?3001??04?31?101?????6?1??1?23?4100??10012????10???010?2?1?31?, ??01?110?001?3?1?41??001?3?1?41????? (I)Ax?0的基础解系为????1,2,3,1? (II)e1??1,0,0?,e2??0,1,0?,e3??0,0,1?

TTTTAx?e1的通解为x?k1???2,?1,?1,0???2?k1,?1?2k1,?1?3k1,k1?

TTAx?e2的通解为x?k2???6,?3,?4,0???6?k2,?3?2k2,?4?3k2,k2? Ax?e3的通解为x?k3????1,1,1,0????1?k3,1?2k3,1?3k3,k3?

TTTT6?k2?1?k3??2?k1???1?2k?3?2k1?2k123??B????1?3k1?4?3k21?3k3????kk2k3?1??(23)(本题满分11分)

（k1,k2,k3为任意常数）

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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二

?1?1 证明n阶矩阵?????11?1??0?01????1?1??0?02?与相似.

?????????????1?1??0?0n??1??1??????2【解析】已知A????1??1?，B=???00?1?，

??????????1???n?则A的特征值为n，0(n?1重).

A属于??n的特征向量为(1,1,?,1)T；r(A)?1，故Ax?0基础解系有n?1个线性无关

的解向量，即A属于

??0有n?1个线性无关的特征向量；故A相似于对角阵

?n???0?. ?=??????0??B的特征值为n，0(n?1重)，同理B属于??0有n?1个线性无关的特征向量，故B相

似于对角阵?.

由相似关系的传递性，A相似于B.

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