2012-2018高考(全国I,II,III卷)真题分类汇编专题：16.圆锥曲线二(4)

x2y2??1得7y2?12y?0， 将x?y?2代入431212，所以y1?. 7711212144?因此?AMN的面积S?AMN?2???.

27749解得y?0或y?x2y2??1得 （2）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入43(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0.

121?k216k2?122(3?4k2)2由x1?(?2)?得x1?，故|AM|?1?k|x1?2|?. 3?4k23?4k23?4k212k1?k21由题设，直线AN的方程为y??(x?2)，故同理可得|AN|?. 2k4?3k由2|AM|?|AN|得

2k32?，即4k?6k?3k?8?0. 223?4k4?3k设f(t)?4t3?6t2?3t?8，则k是f(t)的零点，f'(t)?12t2?12t?3?3(2t?1)2?0， 所以f(t)在(0,??)单调递增，又f(3)?153?26?0,f(2)?6?0， 因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且零点k在(3,2)内，所以3?k?2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

3k?2k?1?2kt??3，解不等式，即求得实数k的【名师点睛】本题中，分离变量t，得?232k?23?tk3k?t取值范围

16.(2016新课标I文20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：y?2px(p?0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H. （I）求

2OHON；

（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

pt2222【解答】试题分析：先确定N(,t),ON的方程为y?x,代入y?2px整理得px?2tx?0,解得

tp2t22t2|OH|x1?0,x2??2.（II） ,2t),由此可得N为OH的中点,即,得H(|ON|pp 16

把直线MH的方程y?t?px,与y2?2px联立得y2?4ty?4t2?0,解得y1?y2?2t,即直线2tMH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.

（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：

直线MH的方程为y?t?p2tx,即x?(y?t).代入y2?2px得y2?4ty?4t2?0,解得2tpy1?y2?2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.

考点：直线与抛物线

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

x2y2217.(2015新课标II文20) 已知椭圆C:2?2?1?a?b?0? 的离心率为,点2,2在C上.

ab2??（I）求C的方程；

（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

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试题解析：

【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于a2,b2的两个方程,通过解方程组求出a2,b2,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.

18.(2015新课标I文20)已知过点A?1,0?且斜率为k的直线l与圆C：?x?2???y?3??1交于M，N两点.

（I）求k的取值范围；

22?????????（II）OM?ON?12，其中O为坐标原点，求MN.

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（II）设M(x1,y1),N(x2,y2).

将y=kx+1代入方程x-2所以x1+x2=()2+(y-3)=1,整理得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,

来源:Zxxk.Com]?????????4k(1+k) OM?ONx1x2+y1y2=1+k2 x1x2+kx1+x2+1=+8,

1+k24k(1+k)+8=12，解得k=1，所以l的方程为y=x+1. 由题设可得

1+k2故圆心在直线l上，所以|MN|=2.

4(k+1)7,xx=.12221+k1+k【考点定位】直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力

【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将x1x2,y1y2用k表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.

19. (201新课标II理20) 已知椭圆C:9x?y?m(m?0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

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（Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时3l的斜率，若不能，说明理由．

【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4?7或4?7．

【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．

【名师点睛】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点A,B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用xP?2xM以及直线l过点(m,m)列方程求k的值． 3x220.(2015新课标I理20) 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y?kx?a(a＞0)交与M,N两点，

4（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

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