2012-2018高考(全国I,II,III卷)真题分类汇编专题：16.圆锥曲线二(3)

由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0.

4m2?4?8km即(2k?1)?2?(m?1)?2?0.

4k?14k?1m?1解得k??.

2当且仅当m??1时，??0，欲使l：y??所以l过定点（2，?1）

12.(2016新课标III文理20)已知抛物线C：y?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于

2m?1m?1x?m，即y?1??(x?2)， 22A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

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（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

试题解析：由题设F(,0).设l1:y?a,l2:y?b，则ab?0，且

12[来源:Z_xx_k.Com]

a2b2111a?bA(,0),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,).222222[来源:学科网]

记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x?(a?b)y?ab?0. .....3分 （Ⅰ）由于F在线段AB上，故1?ab?0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1?a?ba?b1?ab?????b?k2. 1?a2a2?abaa所以AR∥FQ. ......5分 （Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则S△ABF?a?b111. b?aFD?b?ax1?,S△PQF?222211a?b，所以x1?0（舍去），x1?1. b?ax1??222由题设可得

设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得而

2y?(x?1). a?bx?1a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 22当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y?x?1. ....12分 考点：抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系、轨迹求法．

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x2y2??1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k?0)的13.(2016新课标II理20) 已知椭圆E:t3直线交E于A,M两点，点N在E上，MA?NA．

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（Ⅰ）当t?4,|AM|?|AN|时，求?AMN的面积； （Ⅱ）当2AM?AN时，求k的取值范围． 【答案】（Ⅰ）

144；（Ⅱ）49?32,2.

?x2y2??1，A??2,0?. 试题解析：（I）设M?x1,y1?，则由题意知y1?0，当t?4时，E的方程为43由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为

?.因此直线AM的方程为y?x?2. 41212x2y2??1得7y2?12y?0.解得y?0或y?，所以y1?. 将x?y?2代入

7743因此?AMN的面积?2?11212144???. 27749

23k?2k?1?k3?3k2?k?2?k?2??k?1?因此t?.t?3等价于??0， k3?2k3?2k3?2即

?k?2?0?k?2?0k?23?0.由此得，或，解得2?k?2. ??333k?2?k?2?0?k?2?0 13

因此k的取值范围是

?32,2.

?考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．

14.(2016新课标I理20) 设圆x?y?2x?15?0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明EA?EB为定值,并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

22试题解析：（Ⅰ）因为|AD|?|AC|,EB//AC,故?EBD??ACD??ADC,

所以|EB|?|ED|,故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.

22又圆A的标准方程为(x?1)?y?16,从而|AD|?4,所以|EA|?|EB|?4.

由题设得A(?1,0),B(1,0),|AB|?2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

x2y2??1（y?0）. 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y?k(x?1)(k?0),M(x1,y1),N(x2,y2).

?y?k(x?1)?2222由?x2y2得(4k?3)x?8kx?4k?12?0.

?1??3?48k24k2?12则x1?x2?,x1x2?. 224k?34k?3 14

12(k2?1)所以|MN|?1?k|x1?x2|?.24k?32来源学科网ZXXK]

过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y??12(x?1),A到m的距离为,所以

2kk?14k2?3|PQ|?24?()?4.故四边形MPNQ的面积 22k?1k?1222S?11. |MN||PQ|?121?224k?3可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).

当l与x轴垂直时,其方程为x?1,|MN|?3,|PQ|?8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83). 考点：圆锥曲线综合问题

【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

x2y2?1的左顶点，斜率为k?k＞0?的直线交E与A，M15.(2016新课标II文21) 已知A是椭圆E：?43两点，点N在E上，MA?NA.

（Ⅰ）当AM?AN时，求?AMN的面积； （Ⅱ）当AM?AN时，证明：3?k?2.

试题解析：（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y1?0.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(?2,0)，因此直线AM的方程为y?x?2.

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