2012-2018高考(全国I,II,III卷)真题分类汇编专题：16.圆锥曲线二

专题：圆锥曲线二

x2y21.(2018新课标III理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C：??1交于A，B两点．线段AB的中点为

43M?1，m??m?0?．

1⑴证明：k??；

2????????????????????????⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该

数列的公差．

解答：（1）设直线l方程为y?kx?t，设A(x1,y1),B(x2,y2),

?y?kx?t?2联立消y得(4k2?3)x2?8ktx?4t2?12?0， ?xy2?1??3?4则??64k2t2?4(4t2?12)(3?4k2)?0， 得4k2?3?t2?①，

?8kt6t?2y?y?k(x?x)?2t??2m， ，1212223?4k3?4k∵m?0，∴ t?0且k?0.

且x1?x2?3?4k2且t??②.

?4k(3?4k2)2由①②得4k?3?，

16k2211或k??. 221∵k?0，∴ k??.

2uuruuruurruuruuurr（2）FP?FA?FB?0，FP?2FM?0,

∴k?∵M(1,m)，F(1,0)，∴P的坐标为(1,?2m).

14m233?1，∴m?，M(1,?)， 由于P在椭圆上，∴ ?2443x12y12x22y22??1，??1， 又4343两式相减可得

y1?y23x?x???12，

x1?x24y1?y21

又x1?x2?2，y1?y2?直线l方程为y?即y??x?3，∴k??1， 23??(x?1)， 47， 47?y??x???4∴?2， 2xy???1?3?4消去y得28x?56x?1?0，x1,2?214?321，

14uuruur|FA|?|FB|?(x1?1)2?y12?(x2?1)2?y22?3，

uur33|FP|?(1?1)2?(??0)2?,

22????????????∴|FA|?|FB|?2|FP|.

????????????∴FA，FP，FB成等差数列，

????????ccc2d?||FA|?|FB||?|a?x1?a?x2|??|x1?x2|

aaa??

111321321(x1?x2)2?4x1x2??4???.∴d??.

2822714x2y22.(2018新课标III文20) 已知斜率为k的直线l与椭圆C：??1交于A，B两点．线段AB的中点为

43M?1，m??m?0?． 1⑴证明：k??；

2????????????????????????⑵设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明:2FP?FA?FB ．

（1）设直线l方程为y?kx?t，设A(x1,y1),B(x2,y2),

?y?kx?t?2联立消y得(4k2?3)x2?8ktx?4t2?12?0， ?xy2?1??3?4则??64k2t2?4(4t2?12)(3?4k2)?0，

22得4k?3?t?①，

2

?8kt6t?2y?y?k(x?x)?2t??2m， ，12123?4k23?4k2∵m?0，∴ t?0且k?0.

且x1?x2?3?4k2且t??②.

?4k(3?4k2)2由①②得4k?3?， 216k211或k??. 221∵k?0，∴ k??.

2uuruuruurruuruuurr（2）FP?FA?FB?0，FP?2FM?0,

∴k?∵M(1,m)，F(1,0)，∴P的坐标为(1,?2m).

14m233?1，∴m?，M(1,?)， 由于P在椭圆上，∴ ?2443x12y12x22y22又??1，??1，

4343两式相减可得

y1?y23x?x???12，

x1?x24y1?y23，∴k??1， 2又x1?x2?2，y1?y2?直线l方程为y?即y??x?3??(x?1)， 47， 47?y??x???4∴?2， 2xy???1?43?消去y得28x?56x?1?0，x1,2?214?321，

14uuruur|FA|?|FB|?(x1?1)2?y12?(x2?1)2?y22?3，

uur33|FP|?(1?1)2?(??0)2?,

22 3

????????????∴|FA|?|FB|?2|FP|.

3.(2018新课标II文20理19) 设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，

B两点，|AB|?8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0). 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),由?2得k2x2?(2k2?4)x?k2?0. ?y?4x2k2?4??16k?16?0，故x1?x2?.

k224k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?. 2k4k2?4?8，解得k??1（舍去），k?1. 由题设知

k2因此l的方程为y?x?1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即

y??x?5.

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得或? ??(y0?x0?1)2?16.?y0?2?y0??6.?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144.

2222x2?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M4.(2018新课标I理19) 设椭圆C:2的坐标为?2,0?.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB.

4

解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,?). 22所以AM的方程为y??22x?2或y?x?2. 22（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?2,x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y?2. x1?2x2?2由y1?kx1?k,y2?kx2?k得kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)x2?y2?1得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0. 将y?k(x?1)代入24k22k2?2,x1x2?2所以，x1?x2?.

2k2?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k?0. 则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k?22k?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.

0?，B??2，0?，过点A的直线l与C交于M，N5.(2018新课标I文20)设抛物线C：y2?2x，点A?2，两点．

⑴当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； ⑵证明：∠ABM?∠ABN．

l的方程为x?2，解答：（1）当l与x轴垂直时，代入y?2x，2,2),?(2,2)N∴M(∴

2或M(2,2),N(2,?2)，

BM的方程为：2y?x?2?0,或2y?x?2?0.

MN的方程为x?my?2，,N(x,2y)2（2）设设M(x1,y1)?x?my?22ymy?4?0，?，联立方程y2?2x，得?2?∴y1?y2?2m,y1y2??4，x1?my1?2,x2?my2?2，

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