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3．（2010 四川南充）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
A D B C E F
【答案】（1）证明：∵ △ABC是等边三角形，
A ∴
M D E 第11页共29页
B C F
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∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°． ∴ ∠BAC＝∠ACE． 又∵ ∠ADB＝∠CDE，
∴ △ABD∽△CED．
（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝33．
∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1． 在Rt△BDM中，BD＝BM2?MD2＝27． 由（1）△ABD∽△CED得，
BDAD27??2， ，EDCDED∴ ED＝7，∴ BE＝BD＋ED＝37．
4．（2010 浙江衢州）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF
的顶点都在方格纸的格点上．
(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点
作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
B
P1
A
P2 P3
C E
D
P5
F
P4
【答案】解：(1) △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得 AB?25，AC?5，BC=5 ；
DE?42，DF?22，EF?210．
∵
ABACBC5???， DEDFEF22
∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
第12页共29页
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B
P1
A
P2 P3
C E (第22题)
P4
D
P5
F
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
5．（2010 河北）（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD
的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到
图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3，求
BD的值． AC第13页共29页
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M D 2 O 1 N B
A 图15-1
D 2 M
A
O 1 C 图15-2
B
N
D 2 O 1 C 图15-3
B
M
A
N
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【答案】
解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC =∠BOE，
D 2 A N
O E 1 C 图4
B F
M
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．
∴AC = BD．
延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．
∴AC⊥BD．
（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC，
D M 2 E A N
1 C ∴△BOE ∽ △AOC． ∴
BEBO． ?ACAOO 图5
B
又∵OB = kAO，
第14页共29页
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由（2）的方法易得 BE = BD．
∴BD?k．
AC
6．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=AD2?AE2?(33)2?32?6 ∵△ADF∽△DEC ∴
ADAF33AF?? ∴ AF=23 DECD647．（2010湖北武汉）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求（2）如图2，当OA=OB，
AP的值； PCAD1=时，求tan∠BPC； AO4第15页共29页
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