2010年中考数学试题分类汇编专题九：一元二次方程(3)

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∴k的非负整数值为0,1,

11．（2010广东中山）已知一元二次方程x?2x?m?0．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值。 【答案】解：（1）Δ=4-4m 因为方程有两个实数根 所以，4-4m≥0，即m≤1

（2）由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2 又x1+3x2=3 所以，x2=再把x2=

21 213代入方程，求得m= 2412．（2010北京）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根．

【答案】解:由题意可知△=0.

即(－4)－4x(m－1)=0. 解得m=5.

当时，原方程化为. x－4x+4 =0 解得x1=x2=2

所以原方程的根为x1=x2=2。

13．（2010四川乐山）从甲、乙两题中选做一题。如果两题都做，只以甲题计分．

题甲：若关于x的一元二次方程x?2(2?k)x?k?12?0有实数根?、?．

（1） 求实数k的取值范围； （2） 设t?222

2

???k，求t的最小值．

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D C P A B Q 图（11） 题乙：如图（11），在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．

（1） 若

BP1AB?，求的值； PC3AQ（2） 若点P为BC边上的任意一点，求证

我选做的是_______题． 【答案】题甲

BCAB??1． BPBQ解：（1）∵一元二次方程x2?2(2?k)x?k2?12?0有实数根?、?，

∴??0， ………………………………………………………………………2分 即4(2?k)?4(k?12)?0，

解得k??2．……………………………………………………………………4分 （3）由根与系数的关系得：?????[?2(2?k)]?4?2k， ………………… 6分

224?2k4??2， …………………………………………7分

kkk4∵k??2，∴?2??2?0，

k4∴?4??2??2，

k∴t?????即t的最小值为－4． ………………………………………………………10分

题乙

（1）解：四边形ABCD为矩形，

∵AB=CD，AB∥DC，………………………………………………………………1分 ∴△DPC ∽△QPB， ………………………………………………………………3分 ∴

BQPB1??， DCCP3- 12 -

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∴DC?3BQ，

∴

AB3BQ3??． ………………………………………………………5分 BQ3BQ?BQ4 （2）证明：由△DPC ∽△QPB，

得

DCPC，……………………………………………………………………6分 ?BQBPABPC?，……………………………………………………………………7分 BQBP∴

BCABBP?PCABPCAB????1???1．…………………………10分 BPBQBPBQBPBQ14．（2010 四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x= 2（1－m）x－m的两实数根为

2

2

x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值． 【答案】（1）将原方程整理为 x+ 2（m－1）x + m= 0． ∵ 原方程有两个实数根，

∴ △= [ 2（m－1）－4m=－8m + 4≥0，得 m≤

2

2

2

2

2

2

1． 2（2） ∵ x1，x2为x+ 2（m－1）x + m= 0的两根， ∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤因而y随m的增大而减小，故当m =

1． 21时，取得极小值1． 2215．（2010 湖北孝感）关于x的一元二次方程x?x?p?1?0有两实数根x1、x2. （1）求p的取值范围；（4分）

（2）若[2?x1(1?x1)][2?x2(1?x2)]?9,求p的值.（6分） 【答案】解：（1）由题意得：

??(?1)2?4(p?1)?0.

解得：p?

- 13 -

…………2分 …………4分

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5 4

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（2）由[2?x1(1?x1)][2?x2(1?x2)]?9得，

2(2?x1?x12)(2?x2?x2)?9.

…………6分

?x1,x2是方程x2?x?p?1?0的两实数根,2?x12?x1?p?1?0,x2?x2?p?1?0,2?x1?x12?p?1,x2?x2?p?1.

?(2?p?1)(2?p?1)?9,即(p?1)2?9. ?p?2,或p??4.

?p?5,?所求p的值为p??4. 4

…………8分 …………9分 …………10分

说明：1．可利用x1?x2?1,得x1?1?x2,

x2?1?x1代入原求值式中求解；

16．（2010 山东淄博）已知关于x的方程x2?2(k?3)x?k2?4k?1?0．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程x?2(k?3)x?k?4k?1?0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y?22m的图象上，求满足条件的m的最小值． x2【答案】解: （1）由题意得△＝??2?k?3???4?k2?4k?1≥0 化简得 ?2k?10≥0，解得k≤5．

（2）将1代入方程，整理得k?6k?6?0，解这个方程得 k1?3?3，k2?3?3. （3）设方程x?2(k?3)x?k?4k?1?0的两个根为x1，x2，

根据题意得m?x1x2．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2?k?4k?1， 那么m?k2?4k?1??k?2??5，所以，当k＝2时m取得最小值－5

222??2217．（2010 广西玉林、防城港）（6分）当实数k为何值时，关于x的方程x－4x＋3－k＝0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根。

【答案】⊿＝b－4ac＝16－4（3－k）＝４＋4k因方程有两个相等实数根，所以⊿＝0，故

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4＋4k＝0 k＝－1，代入原方程得：x－4x＋4＝0 x1＝x2＝2

18．（2010 重庆江津）在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a?5，若关于x的方程x2??b?2?x?6?b?0有两个相等的实数根，求△ABC的周长． 【答案】解：根据题意得：△??b?2??4?6?b?

22?b2?8b?20?0

解得：b?2 或b??10（不合题意，舍去）

∴b?2………………………………………………………………………………４分 （1）当c?b?2时，b?c?4?5，不合题意

（2）当c?a?5时， a?b?c?12……………………６分 19．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）解方程：2x-7x+6=0

2

7x?3?0 2749492??3? x?x?

21616721 (x?)?

41671 x???

443 x1?2 x2?

2【答案】解：x?220．（2010广东茂名）已知关于x的一元二次方程x?6x?k?0（k为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1?2x2?14，试求出方程的两个实数根和k的值．

【答案】解：（1）?b?4ac?(?6)?4?1?(?k)?36?4k?0，·················2分

因此方程有两个不相等的实数根．·································3分 （2）?x1?x2??222222b?6???6，·····································4分 a1又?x1?2x2?14，

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解方程组：??x1?x2?6,?x1??2, 解得：?·····················5分

?x1?2x2?14,?x2?8.方法一：将x1??2代入原方程得：(?2)2?6?(?2)?k2?0，················6分

解得：k??4．·················································7分

c?k2方法二：将x1和x2代入x1x2?，得：?2?8?，······················6分

a1解得：k??4．·················································7分 21．（2010广东佛山）教材或资料会出现这样的题目：把方程

12x?x?2化为一元二次方2程的一般形式，并写出他的二次项系数、一次项系数和常数项。 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答。 （1）下列式子中，有哪几个是方程只写序号） 。 ①

12x?x?2所化的一元二次方程的一般形式？（答案2121x?x?2?0 ②?x2?x?2?0 ③x2?2x?4 2222④?x?2x?4?0 ⑤3x?23x?43?0

（2）方程

12x?x?2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、2常数项之间具有什么关系？

【答案】解：（1）答：①②④⑤ （每个1分）…………………………………………………4分

（2）若说它的二次系数为a（a≠0），则一次项系数为-2a、常数项为-2a……………6分. 22．（2010天门、潜江、仙桃）已知方程x-4x+m=0的一个根为－2，求方程的另一根及m的值.

【答案】把x=-2代入原方程得4+8+m=0，解得m=-12.把m=-12代入原方程，得x-4x-12=0，解得x1=-2，x2=6，所以方程的另一根为6，m=-12.

2

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