九年级数学上册26.4解直角三角形的应用导学案新版冀教版

解直角三角形

学习目标：

1.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题. 2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题. 学习重点：解直角三角形.

学习难点：运用解直角三角形解决实际问题. 自主学习

一、知识链接 1.（本章引例）如图，小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆顶部B，俯角（∠BOC）为18°.旗杆的高约为多少米？

二、新知预习

2.由1中的解题方法试着解下面这道题目： 如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A出看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40min后，渔船航行到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是暗礁最多的危险区.如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？

解：过点C作CD⊥AB，∠AB的延长线于点D，则∠CBD=_____. 在Rt△BCD中，tan∠CBD=_________. 若设CD=x，则BD=_______.

1

在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以tan∠CAD=_______. 即AD=_______.

因为AD -BD=AB，AB=______.

所以得到关于x的方程：________________. 解得x=________.

因为________10海里，所以，这艘渔船继续向东航行，______危险区. 如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.

3.如图，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，CD∥AB，大坝顶宽CD=3m，斜坡AD=16m，大坝高为8m，斜坡BC的坡度为

1.求斜坡的坡角α和大坝底的宽AB（结果精确到0.01m）. 3

三、自学自测

1.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．

四、我的疑惑

_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 合作探究

一、要点探究

探究点1：利用仰角、俯角解决实际问题

问题1：如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．(结

2

果保留根号)

【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解． 问题2：如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB，已知观察点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底边的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是( )

A．(82＋83)m B．(8＋83)m C．(82＋

88

3)m D．(8＋3)m 33

【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角

形．

【针对训练】

1.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离AB大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.

2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB为多少米?(精确到0.1 m)

探究点2：利用坡度、坡角解决实际问题

问题1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？

3

【归纳总结】根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h. 【针对训练】

1.(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;

(2)坡度通常写成1∶ 的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 ; (3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ;

hl

(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)

若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ; 若AB=10,CD=4,i=,则h= .

2如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )

A．5m B．6m C．7m D．8m

二、课堂小结 方位角问题 坡度、坡比问题 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______. 仰角俯角问题 在进行高度测量时，由视线与水平所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角 内以观测者的位置为原点，由东容 西南北四个方向把平面划成四个象限，以正北或者正南方向为始边，先转到观测者方向的锐角称为方向角 图解

4

当堂检测

1.如图，沿倾斜角为30?的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m。(精确到0.1m)

2.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为?， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为 米（用含?的三角函数表示）．

3.如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需_______元.

4.如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i'=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.

5.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：

（1） 在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α ； （2） 量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m; （3） 量出测倾器的高度AC＝h。

根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。

如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2） 1） 在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图

（标上适当的字母）

5

M C A E N

2）写出你的设计方案。

当堂检测参考答案：

1.2.3 2.1.5 +20tan? 3.90 4.解:过点C作CD⊥AD于点F,得 CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.

∵BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6,

∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m). ∴AD=AE+FE+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m). 由tanα=i=,tanβ=i'=,得 α≈32°,β≈21°.

答:铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和21°. 5.1）如图所示：

2)方案如下：

①测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α ； ②测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MDE＝?； ③量出测点A到测点B的水平距离AB＝m; ④量出测倾器的高度AC＝h。

根据上述测量数据可以求出小山MN的高度

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