高中数学2.3二次函数与幂函数教案新人教A版必修1

二次函数与幂函数

一、教学目标

（一） 通过对幂函数的图象与性质的回顾，延伸到二次函数图像与性质的应用；

（二）渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；

（三）培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程.

二、学情分析

作为一节复习课，本课例的实施对象具有如下特点：

1.知识储备方面

学习幂函数之后，结合初中已经掌握的二次函数知识，进一步深入探究二次函数的图像与性质的特点.

2. 思维水平方面

所授课班级是普通班学生，学生有一般的数学素养和数学思维能力，对数学充满探索精神，同时对课堂教学有较高需求.

三、重点难点

重点：依托幂函数的图像与性质来研究二次函数的图象与性质.

难点：二次函数的图像与性质的三类区间与轴的问题 四、教学过程 （一）小题热身

1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是( )

A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝5x C．f(x)＝－x D．f(x)＝x

2

2

2

2

答案：D

2．已知f(x)＝－4x＋4ax－4a－a(a<0)在区间[0,1]上有最大值－12，则实数a等于( )

A．－6 B．－5 C．－4 D．－3

解析：选A f(x)＝－4x＋4ax－4a－a＝－4?x－?－4a，对称轴为x＝，∵a<0，∴

2?2?

2

f(x)在区间[0,1]上是减函数，∴函数f(x)在区间[0,1]上最大值为f(0)＝－a－4a＝－12，

2

2

2

2

?

a?2

a∴a＝－6或a＝2(舍)．

3．(必修1·P82A组第10题变式)函数f(x)＝(m－m－1)·x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为( )

A．2 B．－1 C．0 D．2或－1

解析：选A 由题意知m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m－2m－3＝－3，f(x)＝x符合题意；

当m＝－1时，m－2m－3＝0，f(x)＝x不合题意． 综上知m＝2.

4．如果函数f(x)＝x＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．

2

2

0

2

－3

2

2

m－2m－3

2

是幂函数，且在xa＋2??－＝1，

2解析：由题意知???a＋b＝2，

5≥5.

答案：5

??a＝－4，

得?

?b＝6.?

则f(x)＝x－2x＋6＝(x－1)＋

22

5．当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________． 解析：设f(x)＝x＋mx＋4，当x∈(1,2)时，

??ff(x)＜0恒成立??

?f?

2

2

，

??m≤－5，

??

?m≤－4?

?m≤－5.

答案：(－∞，－5] （二）知识回顾

一、必记3个知识点

1．五种常见幂函数的图象与性质

y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x 12y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}

值域 奇偶性 单调性 公共点 R 奇 增 {y|y≥0} 偶 (－∞，0]减，(0，＋∞)增 R 奇 增 (1,1) {y|y≥0} 非奇非偶 增 {y|y≠0} 奇 (－∞，0)和(0，＋∞)减 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质

2

2

图象 a>0 a<0 定义域 值域 x∈R ?4ac－b，＋∞? ?4a?????在?－∞，－?上递减，在2a???－b，＋∞?上递增 ?2a???bb2?－∞，4ac－b? ?4a?????在?－∞，－?上递增，在2a???－b，＋∞?上递减 ?2a???b2单调性 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 ①对称轴：x＝－ 2a图象特点 ?b4ac－b? ②顶点：?－，4a??2a?2 （三）典例分析

考点一、函数的图象与性质

1.(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )

a

解析：选D 当a>1时，函数f(x)＝x(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A；又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.

1α

2.图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图象．已知α取±2，±四个值，则相应于2曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．

11

答案：2，，－，－2

22

aa?3??2??2?3．设a＝??5，b＝??5，c＝??5，则a，b，c的大小关系是________． ?5??5??5??2?x解析：∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.∵y＝??(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.

?5?

答案：a>c>b 小结： 类题通法

1．幂函数y＝x的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般可从以下两个方面考查：

(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考点二、求二次函数的解析式

[典例] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[解] 法一(利用一般式)：设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1，??a－b＋c＝－1，

由题意得?

4ac－b??4a＝8，

2

2

α

23225

2

a＝－4，??

解得?b＝4，

??c＝7.

∴所求二次函数为f(x)＝－4x＋4x＋7. 法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)＋n. 2＋

∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝

－2

11

＝.∴m＝.又根据题意函数有22

2

?1?2?1?2

最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝a?x－?＋8.∵f(2)＝－1，∴a?2－?＋8＝－1，解得

?2??2?

a＝－4，

?1?22

∴f(x)＝－4?x－?＋8＝－4x＋4x＋7.

?2?

法三(利用零点式)：

由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即解得a＝－4或a＝0(舍)．

∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7. 小结：求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：

2

2

4a－2a－

4a－a2

＝8.

[针对训练]

(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at＋

2

bt＋c (a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可

以得到最佳加工时间为( )

A．3.50分钟 C．4.00分钟

B．3.75分钟 D．4.25分钟

2

解析：选B 由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，

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