高考数学满分冲刺 函数的性质及研究--讲义练习答案

金题精讲

题一：f (x)是R上的函数，且函数f (x+1)，f (x－1)都是奇函数。 证明：?k?Z，函数f (x+2k+1)是奇函数。

题二：方程2?5?2x的实根为?，方程log2(x?1)?求2??1?log2(??1)的值. 题三

题面：R上的连续函数f (x)，x?0时单调，求方程f(

x5?x的实根是?， 2x?3)?f(x)的实根之和。 x?4

讲义参考答案

金题精讲

题一：因为f (x)是R上的函数，且函数f (x+1)，f (x－1)都是奇函数， 所以曲线y = f (x)关于点(1，0)和(－1，0)两点成中心对称， 因为点(x，y)关于点(1，0)的对称点为(2－x，－y)， 即有f (x) =－f (2－x)，同理可得f (x) =－f (－2－x)， 所以f (x) =－f (－2－x)=－(－f (2－(－2－x))=－f (4+x)， 可知f (x)是T= 4的周期函数， 因为函数f (x+1)，f (x－1)都是奇函数，

所以奇函数f (x+1)=f (x+1+4k)，奇函数f (x－1)=f (x－1+4k)(k∈Z)， 即=f (x+(4k+1))，f (x+(4k－1))(k∈Z)都是奇函数， ∴?k?Z，函数f (x+2k+1)是奇函数。 题二：

3 2题三：-8

题1：若函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(2x)的对称轴是（ ） A、x?0 B、x?1 C、x?1 D、x?2 2x题2：已知x1是方程x?lgx?3的根，x2是方程x?10?3的根，则x1?x2值为（ ） A、６ B、１ C、２ D、３ 题3：设定义域为R的函数f(x)???|lg|x?1||,x?1，则关于x的方程

0,x?1?f2(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解的充要条件是（ ）

A．b?0且c?0 B．b?0且c?0

C．b?0且c?0 D．b?0且c?0

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课后练习详解

题1：答案：选C

2x)详解：解法一：因为若函数y?f(x?1)是偶函数，作一个特殊函数y?(x?1)2，则y?f(变为y?(2x?1)2，即知y?f(2x)的对称轴是x?1， 2解法二：函数y?f(x?1)是偶函数，所以可知其对称轴为x=0

将函数y?f(x?1)的图象向右平移1个单位得到y?f(x)的图象，其对称轴也相应向右平移1个单位，对称轴变为x=1，再将y?f(x)的图象沿着x轴缩短为原来的

1倍，得到21y?f(2x)的图象，其对称轴也相应缩短为原来的1/2个单位，则对称轴变为x?.

2

题2：答案：选B.

详解：令f?x??x?lgx,g?x??x?10,显然f?x?,g?x?都是各自定义域上的增函数.因为

xf?2??3,f?3??3,所以2?x1?3,①

因为g?0??1?3,g?1??11?3，

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所以0?x2?1②，由①②得2?x1?x2?4，对照选择支，故选B. 例3：R上的连续函数f(x)，x?0时单调， 求方程f(x?3)?f(x)的实根之和。 x?4题3：答案：选C.

详解：方法一 由于f(1?x)?f(1?x),则函数图像关于x?1对称,只需先画出x?1的图像:

??lg?x?1?y?|lg?x?1?|?????lg?x?1?x?2,由于y?lg?x?1?与y??lg?x?1?的图像上的点

1?x?2关于x轴对称,则画函数y??lg?x?1?的图像,只需将y?lg?x?1?的图像关于x轴对称,根据

定义域取相应的部分.如图.

由图像可知f(x)?0有三个解: x?0,1,2.f(x)?a?a?0?有4个解.所以方程

f2(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解的充要条件是方程a2?ba?c?0有一个正根和一

个零根.故有c?0,?b?0.即选C.

方法二 令y?f(x)，则关于x的方程可以写为关于y的方程y2?by?c?0.

方程有7个不同的实数解，则方程必有一个解为x?1，即y?0，代入方程得c?0.而且另一个根的取值范围是(0,??)，即y??b?0，得b?0，选C

题1：设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0． （Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

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题2：设?,?分别是方程log2x?x?3?0和2?x?3?0的根，则???? ，xlog2??2?? .

题3：解方程3?4?5

xxx

课后练习详解

题1：答案：函数y?f(x)是非奇非偶函数; 函数y?f(x)在[-2005,2005]上有802个解.

?f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)详解：（Ⅰ）由????f(4?x)?f(14?x)

?f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x)?f(x)?f(x?10),从而知函数y?f(x)的周期为T?10

又f(3)?f(1)?0,而f(7)?0,f(?3)?f(?3?10)?f(7)?0，所以f(?3)??f(3) 故函数y?f(x)是非奇非偶函数;

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