2010年高考数学试题分类汇编——数列(8)

2. （2010安徽理数）20、（本小题满分12分） 设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0。

证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有

111n。 ?????a1a2a2a3anan?1a1an?1

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（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列等差数列。

（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；

（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立。求证：c的最大值为

?S?是公差为d的

n9。 2[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 （1）由题意知：d?0，

Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

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化简，得：a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2

Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2 （2）（方法一）

m2?n2恒成立。 Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k， c?k2222222222m2?n29?， 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k?2k22222故c?99，即c的最大值为。

22（方法二）由a1?d及Sn?a1?(n?1)d，得d?0，Sn?n2d2。

于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有

(m?n)229229Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk。

2222229。 2933另一方面，任取实数a?。设k为偶数，令m?k?1,n?k?1，则m,n,k符合条件，

22231222223222且Sm?Sn?(m?n)d?d[(k?1)?(k?1)]?d(9k?4)。

222所以c的最大值cmax?于是，只要9k?4?2ak，即当k?221222时，Sm?Sn?d?2ak?aSk。

22a?9所以满足条件的c?因此c的最大值为

99，从而cmax?。 229。 2

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