高一数学必修一易错题集锦答案(3)

与方程 F（x）＝0 ② 等价 ∵F（x1）＝f(x1)－[f(x1)?f(x2)]＝[f(x1)?f(x2)] F（x2）＝f(x2)－[f(x1)?f(x2)]＝[?f(x1)?f(x2)] ∴ F（x1）·F（x2）＝－[f(x1)?f(x2)]，又f(x1)?f(x2)

∴F（x1）·F（x2）＜0

故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，12121212142所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

点评：本题由于方程是f(x)＝12[f(x1)?f(x2)]，其中因为有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（x）＝f(x)－12[f(x1)?f(x2)]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程2x3?x2?4x?2?0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析：只要构造函数f(x)＝2x3?x2?4x?2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令f(x)＝2x3?x2?4x?2

∵f(?3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 f(?2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 f(?1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，

，f0)(＝0－0－0＋2＝2＞0 f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0， f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0

根据f(?2)·f(?1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0 可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

2x3?x2?4x?2

?x2(2x?1)?2(2x?1)?2(x?12)(x2?2)?2(x?1

2)(x?2)(x?2)所以2x3?x2?4x?2＝0有三个根：

12,2,?2 30设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2，满足0?x1?x2?1a. （1）当x?(0,x1)时，证明x?f(x)?x1；

（2）设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),的图像关于直线x?x0对称，证明：

xx10?2. 分析：（1）用作差比较法证明不等式x?f(x)?x1；

（2）函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),图像关于直线x?x0对称，实际直线x?x0就是二次函数的对称轴，即xb0??2a，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设F(x)?f(x)?x?a(x?x1)(x?x2) 当x?(0,x1)时，由于x1?x2，∴(x?x1)(x?x2)?0，又a?0 ∴F(x)?f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)>0即x?f(x)

x1?f(x)?x1?[x?F(x)]?x1?x?F(x)?(x1?x)(1?ax?ax2)?(x

1?x)(1?ax2)∵0?x?x11?x2?a.∴x1?x?0,1?ax2?0 ∴x1?f(x)?0 综合得x?f(x)?x1 （2）依题意知xb0??2a，又xb?11?x2??a ∴xba(x1?x2)?1ax1?ax2?10??2a?2a?2a

∵ax2?1?0,∴x0?ax12a?x12 点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达

式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即x0??b2a 31已知函数f(x)?x2?2bx?c(c?b?1),f(1)?0，且方程f(x)?1?0有实根. (1)求证：-3

(2)若m是方程f(x)?1?0的一个实根，判断f(m?4)的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有c?b?1和方程f(x)?1?0有实根.

及一个等式f(1)?0，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断f(m?4)的符号，因而只要研究出m?4值的范围即可定出f(m?4)符号. (1)证明：由f(1)?0，得1+2b+c=0,解得b??c?12，又c?b?1， 1??c?12?c 解得?3?c??13， 又由于方程f(x)?1?0有实根，即x2?2bx?c?1?0有实根， 故??4b2?4(c?1)?0即(c?1)2?4(c?1)?0解得c?3或c??1 ∴?3?c?1，由b??c?12，得b≥0. （2）f(x)?x2?2bx?c=x2?(c?1)x?c?(x?c)(x?1) ∵f(m)??1?0，∴c

点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.

32定义在R上的函数f?x?满足：对任意实数m,n，总有f?m?n??f?m??f?n?，且当

x?0时，0?f?x??1.

（1）试求f?0?的值；

（2）判断f?x?的单调性并证明你的结论； （3）设A???x,y?f?x2??f?y2??f?1??,B???x,y?f?ax?y?2??1,a?R?，若

A?B??，试确定a的取值范围.

（4）试举出一个满足条件的函数f?x?.

解：（1）在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?1,n?0.得：f?1??f?1??f?0?.

因为f?1??0，所以，f?0??1.

（2）要判断f?x?的单调性，可任取x1,x2?R，且设x1?x2.

在已知条件f?m?n??f?m??f?n?中，若取m?n?x2,m?x1，则已知条件可化为：

f?x2??f?x1??f?x2?x1?.

由于x2?x1?0，所以1?f?x2?x1??0.

为比较f?x2?、f?x1?的大小，只需考虑f?x1?的正负即可.

在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?x，n??x，则得f?x??f??x??1. ∵ x?0时，0?f?x??1， ∴ 当x?0时，f?x??1f??x??1?0.

又f?0??1，所以，综上，可知，对于任意x1?R，均有f?x1??0. ∴ f?x2??f?x1??f?x1???f?x2?x1??1???0. ∴ 函数f?x?在R上单调递减.

（3）首先利用f?x?的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子.

f?x2??f?y2??f?1?即x2?y2?1，

f?ax?y?2??1?f?0?，即ax?y?2?0.

由A?B??，所以，直线ax?y?2?0与圆面x2?y2?1无公共点.所以，

2a?12?1.

解得 ?1?a?1.

x（4）如f?x????1??2??.

点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令m?1,n?0；以及m?n?x2,m?x1等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值.

解：（1）当a?0时，函数f(?x)?(?x)2?|?x|?1?f(x) 此时，f(x)为偶函数

当a?0时，f(a)?a2?1，f(?a)?a2?2|a|?1，

f(a)?f(?a)，f(a)??f(?a)

此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

（2）（i）当x?a时，f(x)?x2?x?a?1?(x?1)2?a?324 当a?12，则函数f(x)在(??,a]上单调递减，从而函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(a)?a2?1.

若a?12，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(12)?34?a，且f(12)?f(a). （ii）当x?a时，函数f(x)?x2?x?a?1?(x?1232)?a?4

若a??12，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(?12)?34?a，且f(?12)?f(a)

若a??12，则函数f(x)在[a,??)上单调递增，从而函数f(x)在[a,??)上的最小值为

f(a)?a2?1.

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