所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.
17若f(x)=
ax?1x?2在区间（－2，＋?）上是增函数，求a的取值范围 解：设?2?xax1?1ax2?11?x2,f(x1)?f(x2)?x?2?x 12?2?(ax1?1)(x2?2)?(ax?21)(x?12)(x1?2)(x2?2)
?(ax1x2?2ax1?x2?2)?(ax1x2?2ax2?x1?2)(x
1?2)(x2?2)?2ax1?x1?2ax2?x2(2a?1)(x1?x(x2)(x?2)1?2?2)(x1?2)(x2?2) 由f(x)=
ax?1x?2在区间（－2，＋?）上是增函数得 f(x?f(x?2a?1?0 ∴a＞11)2)?02
点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(
12)=－1,当且仅当0 x?y1?xy),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f( x?y1?xy),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( x?x1?x2)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0 x2?x11?x) 1x2 x?x∵0 211?x>0, 1x2又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2?x11?x<1,由题意知f(x2?x1)<0，? 2x11?x1x2即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定 x2?x11?xx的范围是解题的焦点. 1219已知logb189?a,18?5,求log3645 解：∵18b?5,∴log185?b ∴loglog1845logb?ab?ab?a3645?log?185?log189?1836log184?log189log18?? 21829a2log?a18()?18(9)?a 20知y?loga(2?ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 解：∵y?loga(2?ax)是由y?logau，u?2?ax复合而成，又a＞0 ∴u?2?ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知 y?logau应为增函数，∴a＞1 又由于x 在[0，1]上时 y?loga(2?ax)有意义，u?2?ax又是减函数，∴x＝1时， u?2?ax取最小值是umin?2?a＞0即可， ∴a＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a＜2 21已知函数f(x)?loga(3?ax). （1）当x?[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. （2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如 果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，3?ax＞0，对一切x?[0,2]恒成立，a?0,a?1 显然，函数g(x)= 3?ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝3?2a＞0得到a＜32 ∴a的取值范围是（0，1）∪（1， 32） (2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)?1，即f(1)?loga(3?a)＝1 ∴a＝ 32此时f(x)?log3a(3?2x) 当x?2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处 理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 22已知函数f(x)=lg1?2x?4x?aa2?a?1, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：1?2x?4x?aa2?a?1>0, 且a2 －a+1=(a－1232)+4>0, ∴ 1+2x+4x·a>0, a>?(14x?12x), 当x∈(－∞, 1]时, y=114x与y=2x都是减函数， ∴ y=?(111134x?2x)在(－∞, 1]上是增函数，?(4x?2x)max=－4, ∴ a>－34, 故a的取值范围是(－34, +∞). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换 位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=?(14x?12x)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 1 23若(a?1)?13?(3?2a)?3，试求a的取值范围. 解：∵幂函数y?x?13有两个单调区间， ∴根据a?1和3?2a的正、负情况，有以下关系 ??a?1?0?a?1?0?3?2a?0.① ?3?2a?0.② ?a?1?0.③ ?? ??a?1?3?2a??a?1?3?2a?3?2a?0解三个不等式组：①得23＜a＜32，②无解，③a＜－1 ∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32） 点评：幂函数y?x?13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认 为a?1?3?2a，从而导致解题错误. 24 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) = aa2?1 (x －1x ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2 ) < 0 ,求m的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=logax(t∈R)，则 x?at,f(t)?at?tax?xa2?1(a?a),?f(x)?a2?1(a?a),(x?R). (2)?f(?x)?a?xxaa2?1(a?a)??f(x),且x?R,?f(x)为奇函数.当a?1时,a2?1?0, u(x)?ax?a?x为增函数,当0?a?1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a?1或0?a?1,f(x)在R上都是增函数. (3)?f(1?m)?f(1?m2)?0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,?f(1?m)?f(m2?1).又 ?x?(?1,1)??1?1?m???1??1?m2?1?1?1?m?2. ??1?m?m2?1点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会. 25已知函数f(x)?x2?ax?3?a若x?[?2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 解：设f(x)的最小值为g(a) （1）当?a2??2即a＞4时，g(a)＝f(?2)＝7－3a≥0，得a?73故此时a不存在； (2) 当?a2?[?2,2]即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2 又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； （3）?a2?2即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－4 故－7≤a＜－4 综上，得－7≤a≤2 26已知mx2?x?1?0有且只有一根在区间（0,1）内，求m的取值范围. 解：设f(x)?mx2?x?1，（1）当m＝0时方程的根为－1，不满足条件. （2）当m≠0∵mx2?x?1?0有且只有一根在区间（0,1）内 又f(0)＝1＞0 ∴有两种可能情形①f(1)?0得m＜－2 或者②f(1)?0且0 27.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程 x2+（2k－3）x－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由. 解：令f(x)?x2?(2k?3)x?(3k?1)那么由条件得到 ?2???(2k?3)?4(3k?1)?0??4k2?5?0??f(0)?1?3k?0?k?1??f(2)?4?2(2k?3)?(3k?1)?0即??3即此不等式无解 ?k?1??0?2k?3?2??2?3?2?k?72即不存在满足条件的k值. 28已知二次函数f(x)?ax2?bx?c对于x1、x2?R，且x1＜x2时 f(x，求证：方程f(x)＝11)?f(x2)2[f(x1)?f(x2)]有不等实根，且必有一根属于区间 （x1，x2）. 解：设F（x）＝f(x)－12[f(x1)?f(x2)]， 则方程 f(x)＝12[f(x1)?f(x2)] ① 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高一数学必修一易错题集锦答案(2)在线全文阅读。
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