理论力学 陈立群 第6章动习题解答

第六章 刚体的平面运动 习题解答

6-1 椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度?O绕O轴匀速转动，如图所示。如OC?BC?AC?r，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。 解：AB杆作平面运动，设t?0时，??0，则???0t。选AB杆上的C点位基点，建立平移坐标系C?x?y?，在图示坐标系中，AB杆在固定坐标系O?xy的位置由坐标

(xC,yC,?)确定，所以AB杆的平面运动方程为：

xC?rcos?0t， yC?rsin?0t， ?????0t.

题6-1图

6-2 杆AB的A端沿水平线以等速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R，如图所示。如杆与水平线的夹角为?，试以角?表示杆的角速度。

解： 解法一：杆AB作平面运动。选取A为基点，由速度基点法

vC?vA?vCA， 作图示几何关系，图中vA?v，解得

vCA?vAsin??vsin?，

AB杆的角速度为 ??vCAvsin?? （逆时针）. ACRcos?2 题 6-2图

解法二：在直角三角形△ACO中， sin??R x上式对时间求导，得

?cos???Rx? ?2x??v,x?Rsin?，解得AB杆的角速度为 其中，xsin2?v? ???，

cos?R（负号表示角速度转向与?角增大的方向相反，即逆时针）

6-3 半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮转动，如图所示。如曲柄OA以等角加速度?绕O轴转动，当运动开始时，角速度?O?0，转角??0。求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程。

解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄OA固结的转动坐标系

题6-3图

1

O???，和在动齿轮的A点建立平移坐标系A?x?y?，如图所示，从图中可见，因动齿轮和固

定齿轮间没有滑动，所以存在关系

R??r?

小轮半径AM相对平移坐标系A?x?y?，也即固定坐标系得转角为

?A??????(1?可得小轮平面运动方程为

1R), 而 ???t2， r22 xA?(R?r)cos(?t)， yA?(R?r)sin(?t).

6-4 图示机构中，已知OA?0.1m，

12122BD?0.1m，DE?0.1m，EF?0.13m；?OA?4rad/s。在图示位置时，曲柄OA与水平线

OB垂直；且B、D和F在同一铅直线上，又DE?EF。求EF的角速度和点F的速度。 解：如图所示，对各构件进行速度分析. 1）AB杆作平面运动. 因vA//vB ，所以AB杆为瞬时平移，得

vB?vA?OA??OA?0.4m/s.

BC杆作平面运动. 由vC,vB找得BC杆的速度2）

瞬心为D点，所以，BC杆上的速度分布好像与三角板DEC一起绕D作定轴转动一样，得

题 6-4图

vCv?DE?B?vB?0.4m/s，方向如图示. DCBD3）EF杆作平面运动. 由vE,vF找得EF杆的速度瞬心为CEF，故有

vE?1.333rad/，s ?EF?（顺时针）； ECEFvE?DE?（方向向上）。 vF?FCEF??EF?0.462m/s，

6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD构成。已知曲柄的角速度?O1A?2rad/s，O1A?100mm，

O1O2?50mm，AD?50mm。当O1Amm铅直时，AB

?平行于O1O2，且O1、A、D在同一直线上，角??30。

求三角板ABD的角速度和点D的速度。

解：AO1杆和BO2杆作定轴转动，三角板ABD做平面运动， 由vA,vB找得三角板ABD的速度瞬心为CABD点，如图所示. 故

vA?AO1??O1A?0.2m/s， 三角板ABD的角速度：

题 6-5图

?ABD?D点的速度：

vACABDA?1.07rad/s，（逆时针）.

2

vD?CABDD??ABD?0.254rad/s.

6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块B和E用杆BE连接，主动曲柄OA和从动曲柄OD都绕O轴转动。OA以匀角速度?0?12rad/s转动。已知OA?100mm，OD?120mm，AB?260mm，BE?120mm，DE?1203mm。求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，曲柄OD和连杆DE的角速度。

解：如图机构中，主动曲柄OA作定轴转动， vA?OA???1.2m/s，

AB杆作平面运动，在图示瞬时，由vA,vB知，AB杆作瞬时平移，有

vB?vA?1.2m/s.

BE作平移，vE?vB. 有vD,vE找得ED杆速度瞬

心为D点.在图示位置上可得 OE?

?DE?题 6-6图

AB?OA?EB?OD，

?由此可知 ?ODE??OED?30，ED杆角速度为

vE10?3?5.77rad/s， 3CE22D点的速度为

vD?CD??DE?曲柄OD的角速度为

3.6?2.08m/s， 3?DO?vD?103?17.32rad/s， （逆时针）. OD

6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆O1O2绕O1轴转动，转速为n4?900r/min，O2处用铰链连接一半径为

r2的动齿轮2，杆O1O2转动时，轮2在半径为r3的固定内齿轮3上滚动，并使半径r1?r2/11的轮1绕O1轴转动。轮

1上装有砂轮，随同轮1高速转动。求砂轮的转速。 解：如图所示: 设轮1和杆O1O2的角速度分别为?1和?4，杆O1O2作定轴转动，故vO2?(r1?r2)?4

轮1和轮2啮合点M的速度 vM?2vO2，注意

题6-7图

r3?r1?2r2，可得轮1的角速度

vr?r ?1?M?12?4?12?4，（顺时针）

r1r1轮1的转速为

n1?12n4?10800r/min，（顺时针）.

3

6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O1轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动地装在O轴上；在O轴上装有齿轮1，齿轮2的轴安装在连杆AB的另一端。已知：又平衡杆的角速度?O1?6rad/s。r1?r2?3003mm，O1A?750mm，AB?1500mm；求当??60和??90?时，曲柄OB和齿轮1的角速度。 解：由图所示可知：点C是AB杆和轮II的速度瞬心，故

??AB?vAO1A??O11（逆时针）. ???O1，4CA2?ABvB?CB??AB?3753?O1，

杆OB的角速度为

?OB?vB（逆时针）. ?3.75rad/s，

r1?r2

题 6-8图

两齿轮啮合点M的速度为vM?CM??AB, 则轮1的角速度为

?I?

vM（逆时针）. ?6rad/s，

r16-9 如图所示，轮O在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B，此滑块在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕O1轴转动。已知轮的半径R?0.5m，在图示位置时，

AO1是轮的切线，轮心的速度vO?0.2m/s，摇杆与水平面的夹角为60?。求摇杆的角速度和

角加速度。

题 6-9 图

题 6-9 速度和加速度分析图

解：轮O作匀速纯滚动， ?O?vO?O?0，点B作合成运动。 ，且?O??r 选销钉B为动点，摇杆为动系。 1） 速度分析：

va?CB??O?3vO

根据速度合成定理 va?ve?vr作速度平行四边形，如图 (a)所示，求得

vr?vacos30??33vO, ve?vasin30??vO. 22 4

摇杆的角速度为

?O?1ve（逆时针）. ?0.2rad/s，

O1B2) 加速度分析：

ⅰ）选轮心O为基点，则销子B的加速度如图（b）所示，有

ntn （d） aB?aO?aBO?aBO?aBO再选定销钉B为动点，摇杆为动系，如图（c），有

ntaB?ae?ae?ar?ac (e)

nnt由式（d）,(e)得 aBO = ae + ae + ar + ac

2 大小： R?O O1B??2O1 O1B??O1 ？ 2?O1vr

方向： 如图（b），（c）所示

向BO轴上投影

ntaBO?ae?ac，

τn解出 ae?aBO?ac，于是摇杆的角加速度为

?OA1aet（逆时针）. ???0.0462rad/s2，

O1B

6-10 在图示机构中，已知：滑块A的速度

vA?200mm/s，AB?400mm。求当AC?CB，??30?时杆CD的速度。

解：选套筒上的销钉C为动点，AB杆为动系，动系作平面运动.

1）速度分析. 由vA,vB找得AB杆的速度瞬心CAB，故AB杆的角速度为

题6-10图

?AB?vA?1rad/s，而C点的牵连速度为 CABAve?CABC??AB?200mm/s， 由速度合成定理 va?ve?vr ，解得

ve200?3mm/?s0.115m/s vCD?va?vr? ?2cos3032）加速度分析. AB杆作平面运动，以A为基点，有

aB = aA + atBA

题6-10速度分析图

+ anBA

2大小： ？ 0 AB??AB AB??AB 方向: √ √ √ √ 向水平轴投影，列出

aBAsin30?aBAcos30?0，

tn2解得 aBA， ?aBAcot30??3AB??AB于是求得AB杆的角加速度为

t?n? ?AB

taBA??3rad/s，（顺时针）. AB再对套筒上的销钉C作加速度分析，仍以此销钉C为动点，AB杆为动系，加速度合成定理为

题6-10加速度分析图

5

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