汕头市2008届普通高校招生第一次模拟考试(理数)(3)

?16?6a3?6a5???6a2k?1 ?16?6(a3?a5???a2k?1)

?16?6[7k?1k(k?1)?6] 2?16?6(3k2?4k)

?18k2?24k?16?????????????????????????l4分

20.解：

f(x)定义域为(??,0)?(0,??)

(Ⅰ)当x?0时，?x?0,

?f(x)?xlnx, f(?x)??xlnx ?f(?x)??f(x),

当x?0时，?x?0，

?f(x)?xln(?x), f(?x)??xln(?x)

?f(?x)??f(x),??????????????????????????2分 ?f(x)是奇函数。??????????????????????????4分

(Ⅱ)当x?0时，f(x)?xlnx,f?(x)?lnx?x?令f?(x)?0,得0?x?1?lnx?1 x11,?当x?(0,)时，f(x)为减函数， ee11令f?(x)?0,得x?,?当x?(,??)时，f(x)为增函数，

ee又f(x)为奇函数，

11?x?(,0)时，f(x)为减函数，x?(??,?)时，f(x)为增函数

ee11?f(x)的单调减区间为(?,0)和(0,),

ee11单调增区间为(??,?)和(,??)。??????????????7分

ee1(Ⅲ)原方程等价于f(x)?，考察f(x)的图象变化，由(Ⅱ)知，

k111x?(0,)时，f(x)由O递减到f()??,

eee

11

11x?(,??)时，f(x)由f()递增到??

ee111x?(??,?)时，f(x)由-?递增到f(?)?,

eee11x?(?,0),f(x)由f(?)递减到O。??????????????????l2分

ee1?方程f(x)?恰有3个不同的根，

k1?f(x)的图象与y?的图象应有3个不同的交点，

k1111????0或0??,

ekke?k??e或k?e。??????????????????????????14分

21．解

(Ⅰ)由椭圆方程知a2?4,b2?3,?a?2,c?a2?b2?1,

?F1(?1,0),F2(1,0)

?PQ与F1P方向相同，

?点Q在F1P的延长线上，且有F1Q?F1P?PQ?F1P?PF2?2a?4???4分 ?点Q的轨迹C是圆，圆心为F1半径为4

?C的方程为(x?1)2?y2?16。????????????????????6分

(Ⅱ)假设存在该椭圆的切线l满足条件。

(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x??2

当x??2时，A(?2,15), B(?2,?15)

kAF2?151515??, kBF2? ?2?1335?kAF2?kBF2?? ?AF2与BF2不垂直，

3?直线x??2不适合

当x?2时，同理可知x?2也不适合。??????????????????9分 (2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y?kx?n,

与椭圆方程联立消去y得(3?4k)x?8knx?4n?12?0 由相切得??64kn?4(3?4k)(4n?12)?0

化简得n?4k?3①??????????????????????????11分

12

22222222由??y?kx?n22?(x?1)?y?16消去y得(1?k2)x2?(2?2kn)x?n2?15?0

在l与椭圆相切的条件下必有?1?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)

2?2knn2?15, x1x2?则x1?x2??

1?k21?k2?AF2?BF2 ?AF2?BF2?0

?(x1?1)(x2?1)?y1y2?0,又y1?kx1?n,y2?kx2?n

?(k2?1)x1x2?(kn?1)(x1?x2)?n2?1?0

n2?15?2(kn?1)?(k?1)?2?(kn?1)??n2?1?0 2k?1k?12化简得n?7k?6②?????????????????????????13分 由①②可得4k?3?7k?6

2222?k2??1不成立

综上，直线l不存在。 ?????????????????????????l4分

13

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