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第一，数字和（8+6＋5+a+b+c）是3的倍数。
第三，末位数字c是0或5。
又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。
∴c只能取O.因而b只能取自O，2，4，6，8中之一。
∴a＋b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。 ∴要求的六位数是865020。
分析 ∵26=2313，
∴y可能取0、2、4、5、6、8。
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当y＝0时，
＝7313x+9x+13＋6
∴根据整除“性质1”，有13｜9x+6，
经试验可知只有当x＝8时，13｜9x＋6， ∴当y=0时，符合题意的六位数是819910。
所以13整除9x＋6—2， 即13｜9x+4。
经试验可知只有当x＝1时，13｜9x+4。 ∴当y＝2时，符合题意的六位数是119912。 同理，当y＝4时，13｜9x＋6-4， 即13｜9x+2，
经试验可知当x＝7时，13｜9x+2。 ∴当y=4时，符合题意的六位数是719914。 同理，当y＝6时，13｜9x＋6—6。 即13｜9x.
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∴当y=6时，找不到符合题意的六位数。 同理，当y＝8时，13｜9x+6-8， 即13｜9x-2。
经试验只有当x＝6时，13｜9x-2。 ∴当y=8时，符合题意的六位数是619918。
答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
习题一
样的五位数。
4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？
5.一本陈年老账上记着：72只桶，共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上，并求桶的单价。
6.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
习题一解答
1.39312。 2.8。
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3.32250、32550、32850。
4.解：∵1＋2＋3＋?＋9=45，3｜45， 又∴1993除以9余4，
∴这个1993位数的最末4位数字是1234。 ∵1+2+3+4=10，310，
∴这个1993位数不能被3整除。
5.□为3、2共367.92元，每只桶5.11元。
所以，这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
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第2讲 质数、合数和分解质因数
一、基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝23335。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝23233＝2233，2、3都叫做12的质因数。
二、例题
例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2333537 ∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。
∵17323＝391＞11329＝319＞3337＝111。 ∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
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例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=233，14＝237，15=335， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14
（=237）放在第一组，那么7和6（=233）只能放在第二组，继而15（＝335）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14315=210=53637。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析 先大概估计一下，30330330=27000，远小于42560.40340340＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=263537319 ＝253（537）3（1932） ＝32335338（合题意）
要求的三个自然数分别是32、35和38。 例7 有3个自然数a、b、c.已知a3b=6，b3c=15，
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