2003年高考试题——数学理(天津卷)及答案(2)

?D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC?平面ABC,?CDEF为矩形连结DE,G是?ADB的重心,?G?DF.在直角三角形EFD中1EF2?FG?FD?FD2,?EF?1,?FD?3.??(4分)31?26于是ED?2,EG??.33?FC?CD?2,?AB?22,A1B?23,EB?3.?sin?EBG?EG612???.EB3332.3

?A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有VA?AED1?VD?AA1E

?ED?AB,ED?EF,又EF?AB?F,

?ED?平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，

则S?AED?h?S?A1AB?ED ?A1K?263. 故A1到平面AED的距离为

263.

19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.

解：

f?(x)?12x?1(x?0). x?a当a?0,x?0时 f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0.

f?(x)?0?x2?(2a?4)x?a2?0

（i）当a即

?1时，对所有x?0，有x2?(2a?4)?a2?0.

f?(x)?0，此时f(x)在(0,??)内单调递增.

?1时，对x?1，有x2?(2a?4)x?a2?0，

（ii）当a即

f?(x)?0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， f(x)在（0，+?）内单调递增

?a?1时，令f?(x)?0，即x2?(2a?4)x?a2?0.

1?a,或x?2?a?21?a.

函数

（iii）当0解得x?2?a?2因此，函数

f(x)在区间(0,2?a?21?a)内单调递增，在区间(2?a?21?a,??)

内也单调递增. 令

f?(x)?0,即x2?(2a?4)x?a2?0，

1?a?x?2?a?21?a.

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解得2?a?2

因此，函数

f(x)在区间（2?a-21?a,2?a?21?a)内单调递减.

20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分

12分）.

解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

P(??3)?P(??2)?P(??1)?2228 ???3557522312223228 ?????????355355355752331231322， ?????????3553553555P(??0)?又S?BAE11333 ???35525?11S?A1AB?A1A?AB?2， S?AED?1AE?ED?6， 2422?26.

3h?2?262解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，

则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（

2a2a1,,）. 333aa2?GE?(,,),BD?(0,?2a,1)，

33322?GE?BD??a2??0，解得a=1.

33241?BA1?(2,?2,2),BG?(,?,),

333?cos?A1BG?BA1?BG?|BA1||BG|14/37.

?1323?213A1B与平面ABD所成角是arccos73

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zC1A1DEB1KA.

CGBy

xF（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

AE?ED?(?1,1,1)?(?1,?1，0）?0，AA,?1,0)?0 1?ED?(0,0,2)?(?1?ED?平面AA1E，又ED?平面AED.

∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED?面AA1E=AE，

∴点A在平面AED的射影K在AE上. 设由

AK??AE， 则A1K?A1A?AK?(??,?,??2)

A1K?AE?0，即??????2?0， 解得??2. 3224?A1K?(?,,?)

333根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=P(η=2)=P(ξ=1)= （2）E?8, P(η75.

=1)=P(ξ=2)=

2875

25, P(η=3)=P(ξ=0)=

325?3?238282322； 因为ξ+η=3，所以 E??3?E??. ?2??1??0??1575755251521．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等

解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. ∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）. 因此，直线OP和AP的方程分别为 ?y?ax 和 y?a??2?ax. 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(y?a)??2a2x2.

a(y?)2整理得 x2?1.……① 因为a?1a()2822?0,所以得：

（i）当a?22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

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（ii）当0?a? （iii）当a?2时，方程①表示椭圆，焦点E(1221a11a?a2,)和F(??a2,)为合乎题意的两个定点； 2222211112时，方程①也表示椭圆，焦点

E(0,(a?a2?))和F(0,(a?a2?))为合乎题意的两个定点.

2222222．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则ak 那么ak?11?[3k?(?1)k?12k]?(?1)k2a0, 52?3k?2ak?3k?[3k?(?1)k?12k]?(?1)k2k?1a0

51k?1 ?[3?(?1)k2k?1]?(?1)k?12k?1a0.

5 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. 证法二：如果设an?3n?1?2(an?1?a3n?1), 用an?3n?1?2an?1代入，可解出a?1. 53n?是公比为－2，首项为3所以?a1?的等比数列. ?an??55??nn?1n3n33?(?1)2n?1?an??(1?2a0?)(?2)(n?N). 即an??(?1)n2na0.

5552?3n?1?(?1)n?13?2n?1 （2）解法一：由an通项公式 an?an?1??(?1)n3?2n?1a0.

53?an?an?1(n?N)等价于 (?1)n?1(5a0?1)?()n?2(n?N).……①

23 （i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 (?1)2k?2(5a0?1)?()2k?3

2131 即为 a0?()2k?3?.……②

525②式对k=1，2，…都成立，有 a0?1?(3)?1?1?1.

5253 （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为

即为

3(?1)2k?1(5a0?1)?()2k?2.

2131a0???()2k?2?.……③ ③式对k=1，2，…都成立，有

5251311a0???()2?1?2??0. 综上，①式对任意n∈N*，成立，有0?a0?.

52531故a0的取值范围为(0,).

3解法二：如果an?an?1（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 a1?a0?1?3a0?0.

11a2?a1?6a0?0. 因此 0?a0?. 下面证明当0?a0?.时，对任意n∈N*，

33an?an?1?0. 由an的通项公式 5(an?an?1)?2?3n?1?(?1)n?13?2n?1?(?1)n5?3?2n?1a0.

（i）当n=2k－1，k=1，2…时， 5(an?an?1)?2?3n?1?3?2n?1?5?3?2n?1a0

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?2?2n?1?3?2n?1?5?3?2n?1?0

（ii）当n=2k，k=1，2…时，5(an?an?1)?2?3n?1?3?2n?1?5?3?2n?1a0

故a0的取值范围为(0,?2?3n?1?3?2n?1?0.

1). 3

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