2003年高考试题——数学理(天津卷)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P.

4V??R3其中R表示球的半径

3

那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概

kk率Pn(k)?CnP(1?P)n?k

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．

1?3i(3?i)A．

2?

（ ）

13?i 44B．?13?i 44C．

13?i 22D．? D．－

13?i 22（ ）

2． 已知x?(?

A．

?2,0),cosx?7 244,则tan2x? 5724B．－ C．

24724 7（ ）

?2?x?1,x?0,?3．设函数f(x)??1若f(x0)?1，则x0的取值范围是

,2?x?0?x

A．（－1，1）；

B．（－1，+∞）；C．（－∞，－2）∪（0，+∞）；D．（－∞，－1）∪（1，+∞）。

4．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OP?OA??(AB?AC???[0,??).|AB||AC|则P的轨迹一定通过△ABC的

A．外心 B．内心 5．函数y?ln（ ）

C．重心

D．垂心

（ ）

x?1,x?(1,??)的反函数为 x?1

ex?1ex?1,x?(0,??) B．y?x,x?(0,??) A．y?xe?1e?1ex?1,x?(??,0) C．y?xe?1ex?1,x?(??,0) D．y?xe?1

6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

- 1 -

a3A．

3a3B．

4a3C．

6a3D．

127．设a?0,f(x)?ax2?bx?c，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切处的倾斜角的取值范围为[0,到曲线y?f(x)对称轴距离的取值范围为

A．[0,]

（ ）

C．[0,|?4]，则P

1aB．[0,1] 2ab|] 2a D．[0,|b?1|] 2a8．已知方程(x2?2x?m)(x2?2x?n)?0的四个根组成的一个首项为

A．1

B．

1的等差数列，则|m?n|?（ ） 43 4C．

1 2D．

3 89．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y?x?1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为

2?,则此双曲线的方程是 3

（ ）

x2y2??1 A．34x2y2??1 B．43x2y2x2y2??1 D．??1 C．522510．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹

角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）

设P4的坐标为（x4，0），若1?x4?2，则tan?的取值范围是

（ ）

A．（

1，1） 3B．(,）

1233C．(,)

2152D．(,)

2253222C2?C32?C4???Cn11．lim?

n??n(C1?C1?C1???C1)234n （ ）

A．3 B．

1 3C．

1 6D．6

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π

B．4π

C．33?

D．6π

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．(x?219)展开式中x9的系数是 . 2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层

抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种

不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同 的栽种方法有 （以数字作答）

- 2 -

16．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP

的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?2sinx(sinx?cosx). （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y?f(x)在区间[???y,]上的图象. 22

xO 18．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1

与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.

C1 （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.

A1B1

D19．（本小题满分12分）

E 设a?0，求函数f(x)?x?ln(x?a)(x?(0,??)的单调区间.

CG20．（本小题满分12分） AA、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B 队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A1对B1 A2对B2 A3对B3 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 B2 32 52 5- 3 -

1 33 53 5现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η

（1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ，Eη. 21．（本小题满分14分）

已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）

以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分） 设a0为常数，且an?3n?1?2an?1(n?N) （1）证明对任意n?1,an?1n[3?(?1)n?1?2n]?(?1)n?2na0； 5 （2）假设对任意n?1有an?an?1，求a0的取值范围.

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学试题（理工农医类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分 13．?三、解答题

21 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 217．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1）

f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x

?1?2(sin2xcos

所以函数

??cos2xsin) ?1?2sin(2x?)

444??f(x)的最小正周期为?，最大值为1?2.

?3???3?5??88888 11?211?21（2）由（1）知 xy故函数

y?f(x)在区间[???,]上的图象是 2218．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分.

解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，

C1A1DEB1KACGB

F

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