2016年内蒙古巴彦淖尔市中考数学试卷要点(4)

【解答】解：（1）甲的平均成绩为：×（10+8+9+8+10+9+10+8）=9， 乙的平均成绩为：×（10+7+10+10+9+8+8+10）=9， 故答案为：9；9；

（2）甲的方差为：[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]=0.75，

乙的方差为：[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]=1.25， （3）∵0.75＜1.25， ∴甲的方差小，

∴甲比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适． 20．（10分）（2016?内蒙古）张老师为了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）张老师一共调查了多少名同学？

（2）C类女生有多少名？D类男生有多少名？并将两幅统计图补充完整； （3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【分析】（1）根据条形图和扇形图，得到调查结果分很好的人数以及所占的百分比，计算即可；

（2）求出C类女生和D类男生人数，求出B类学生所占的百分比和D类学生所占的百分比即可；

（3）根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）由条形图可知，调查结果分很好的有：2+3=5人， 由扇形图可知，调查结果分很好的人数所占的百分比为20%， 则张老师一共调查的人数为：5÷20%=25人； （2）C类学生：25×24%=6人， 则C类女生为：6﹣2=4人，

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D类男生为：25﹣5﹣10﹣6﹣2=2人， B类学生所占的百分比为：10÷25=40%，D类学生所占的百分比为：4÷25=16%， 将两幅统计图补充完整如图： （3）所以可能出现的结果有20种，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的可能有10种，

则所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：．

21．（10分）（2016?内蒙古）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：△ABC≌△EAF；

（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）由△ABE是等边三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EAF即可； （2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD，然互再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形． 【解答】解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°． 又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC． 在△ABC和△EAF中

，

∴△ABC≌△EAF．

（2）结论：四边形EFDA是平行四边形．

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理由：∵△ABC≌△EAF， ∴EF=AC．

∵△ACD是的等边三角形， ∴AC=AD，∠CAD=60°， ∴AD=EF．

又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°， ∴∠EFA=∠BAD=90°， ∴EF∥AD． 又∵EF=AD，

∴四边形EFDA是平行四边形．

22．（10分）（2016?内蒙古）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（m，4），与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，把点P（3，4）代入反比例函数y=即可得出k的值，再将A、P两点的坐标代入y=ax+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，进而得出结论；

（2）先求得y=2时，x=6，再根据菱形的判定即可求解． 【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣3，0）， ∴O为AB的中点，即OA=OB=3， ∴P（3，4），B（3，0）， 将P（3，4）代入反比例解析式得：k=12，即反比例解析式为y=将A（﹣3，0）与P（3，4）代入y=ax+b得：解得：

，

，

．

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∴一次函数解析式为y=x+2；

（2）如图所示， 把y=2代入y=

中，得x=6，得D（6，2），

PB垂直且平分CD，

则四边形BCPD为菱形． 则点D（6，2）． 23．（12分）（2016?内蒙古）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF； （3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线； （2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．

（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF． 【解答】证明：（1）如图，连接OE． ∵BE⊥EF， ∴∠BEF=90°，

∴BF是圆O的直径． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC是⊙O的切线；

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（2）如图，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF．

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1， ∴HF=1，

在Rt△HFE中，EF=∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90°，

∴∠EHF=∠BEF=90°， ∵∠EFH=∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴

=

，即

=

，

=

，

∴BF=10，

∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4， ∴Rt△OHE中，cos∠EOA=， ∴Rt△EOA中，cos∠EOA=∴

=，

， ﹣5=．

=，

∴OA=∴AF=

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