宁夏银川一中2011届高三第三次模拟考试(数学理)(2)

（1）若不等式f(x)?6的解集为x?2?x?3，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f(n)?m?f(?n)成立，求实数m的取值范围．

??

银川一中2011届高三第三次模拟数学(理科)参考答案

1．B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B 11.A 12.A 13.

1

?p 14.1 15.1 16.3 2

A?B7C7?cos2C?得4cos2?cos2C? 222217、(1) 解：∵A+B+C=180°由4sin2 ∴4?1?cosC7?(2cos2C?1)? 222整理，得4cosC?4cosC?1?0 ????4分

1 ??5分 2 ∵0??C?180? ∴C=60° ??????6分

解 得：cosC?（2）解：由余弦定理得：c=a+b－2abcosC，即7=a+b－ab ∴7?(a?b)?3ab

由条件a+b=5得 7=25－3ab ?? 9分 ab=6??10分 ∴S?ABC?2

2

2

2

2

211333 ????12分 absinC??6??2222所以△ABC的面积S?

13absinC?3． 22

19．解：解法一：（Ⅰ）∵ PA?平面ABCD，?BAD?90，

?AB?1，AD?2，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，

则A?0,0,0?,B?1,0,0?,F(1,1,0),D(0,2,0)．????2分

????????不妨令P(0,0,t)∵PF?(1,1,?t)，DF?(1,?1,0) ????????∴PF?DF?1?1?1?(?1)?(?t)?0?0，

即PF?FD．??????????4分

?（Ⅱ）设平面PFD的法向量为n??x,y,z?，

???????x?y?tz?0t?n?PF?0由??????，得?，令z?1，解得：x?y?．

2?x?y?0??n?DF?0??tt?∴n??,,1?． ?????????????????????6分

?22?????1?1?设G点坐标为(0,0,m)，E?,0,0?，则EG?(?,0,m)，

2?2??????1tttn?0，即(?)??0??1?m?m??0， 要使EG∥平面PFD，只需EG?222411t，从而满足AG?AP的点G即为所求．???????????8分 44????????（Ⅲ）∵AB?平面PAD，∴AB是平面PAD的法向量，易得AB??1,0,0?，

得m????????????????????????????????9分 又∵PA?平面ABCD，∴?PBA是PB与平面ABCD所成的角，

??11?得?PBA?45，PA?1，平面PFD的法向量为n??,,1? ??10分

?22????????????AB?n∴cosAB,n???????AB?n162， ?611??144故所求二面角A?PD?F的余弦值为6．???12分 6解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF?2，DF?2，

222又AD?2，∴ DF?AF?AD，∴ DF?AF ??2分

又PA?平面ABCD，∴ DF?PA，又PA?AF?A， ∴

DF?平面PAF?DF?PF??4分

PF?平面PAF?（Ⅱ）过点E作EH//FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH???????????????5分

再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG?1AD 41AP， 4∴ 平面EHG∥平面PFD ????????????????????7分 ∴ EG∥平面PFD． 从而满足AG?1AP的点G即为所求． ?????????????????8分 4?（Ⅲ）∵PA?平面ABCD，∴?PBA是PB与平面ABCD所成的角，且?PBA?45． ∴ PA?AB?1 ????????????????????????9分 取AD的中点M，则FM?AD，FM?平面PAD，

在平面PAD中，过M作MN?PD于N，连接FN，则PD?平面FMN， 则?MNF即为二面角A?PD?F的平面角?????????10分 ∵Rt?MND∽Rt?PAD，∴

MNMD?， PAPDo∵PA?1,MD?1,PD?5，且?FMN?90 ∴ MN?6305，FN?， ?555MN6? ?????12分 FN6∴ cos?MNF?x2y220.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，F(c,0)．

ab??由题意知???1?2a?b?23,2解得b?3，c?1．

a?2, a2?b2?c2. yPDEAOFBx1x2y2??1，离心率为．??6分 故椭圆C的方程为

243（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．

证明如下：由题意可设直线AP的方程为y?k(x?2)(k?0).则点D坐标为(2, 4k)，

?y?k(x?2),?BD中点E的坐标为(2, 2k)．由?x2y2得(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0．

?1??3?4设点

P16k2?12的坐标为(x0,y0)，则?2x0?3?4k212k． ???8分 23?4k6?8k2．x0?3?4k2，

y0?k(x0?2)?因为点F坐标为(1, 0)，当k??13时，点P的坐标为(1, ?)，点D的坐标为(2, ?2). 22直线PF?x轴，此时以BD为直径的圆(x?2)2?(y?1)2?1与直线PF相切．??10分 当k??1y04k时，则直线PF的斜率kPF?.所以直线PF的方程为?2x0?11?4k2y?4k(x?1)．

1?4k2点E到直线PF的距离d?8k4k?2k?1?4k21?4k216k2?1(1?4k2)22k?8k31?4k2??2|k|． 1?4k2|1?4k2|1|BD|．故以BD为直径的圆与直线PF相切． 2综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．???12分

又因为|BD|?4|k| ，所以d?21.解: (I) 直线y?x?2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??所以f?(1)??2a?，x2x2a2x?2?a?1???1f(x)??lnx?2f(x)?，所以. 所以. .由

121xx2f?(x)?0解得x?2；由f?(x)?0解得0?x?2.

所以f(x)的单调增区间是(2,??),单调减区间是(0,2). ????????4分

(II) f?(x)??2aax?222????x?0?x?由解得；由解得f(x)?0f(x)?0，.

x2xx2aa2a2)上单调递减. a所以f(x)在区间(, ??)上单调递增，在区间(0, 所以当x?22时，函数f(x)取得最小值，ymin?f(). aa2a因为对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，所以f()?2(a?1)即可.

则

2222?aln?2?2(a?1). 由aln?a解得0?a?. 所以a的范围是2aeaa2(0, ).??8分

e2x2?x?2(III)依题得g(x)??lnx?x?2?b，则g?(x)?.由g?(x)?0解得x?1；由2xxg?(x)?0解得0?x?1.

所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, ??)为增函数.

?g(e?1)≥0,?又因为函数g(x)在区间[e?1, e]上有两个零点，所以?g(e)≥0, ?g(1)?0. ?解得1?b≤

22?e?1.所以b的取值范围是(1, ?e?1]. ????12分 eeA22． 证明：（1）连接DB,

??ADB?900?AB是⊙O的直径???ABD??ACD ?在Rt?ABD与Rt?AFG中，?ABD??AFE?DO?∠ACD=∠AFE?C、D、F、E四点共圆┈┈┈5分

（2）

FCEBGHC、D、F、E四点共圆?GE?GF?GC?GD?2 GH=GE·GF┈10分 ??2GH切?O于点H?GH?GC?GD?x?y?1023.解：（1）点P的轨迹是上半圆：(x?1)2?y2?1(y?0).曲线C的直角坐标方程：

┈┈5分

（2）PQmax?52┈┈5分

24.解：（Ⅰ）由2x?a?a?6得2x?a?6?a，∴a?6?2x?a?6?a，即a?3?x?3， ∴a?3??2，∴a?1。┈┈┈┈5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x??2x?1?1,令??n??f?n??f??n?，

1?2?4n, n???2?11?则，??n??2n?1?2n?1?2??4, ??n?

22?1?2?4n, n??2?∴??n?的最小值为4，故实数m的取值范围是?4,???。┈┈┈┈┈10分

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