第6章_方差分析

第六章 方差分析

第六章 方差分析

方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，是用来推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义，即判断分类变量对数值变量是否有显著影响。从形式上看，方差分析是比较多个总体的均值是否相等，本质上它所研究的是变量之间的关系。这与第八章将要介绍的回归分析方法有许多相同之处，但又有本质区别。

【实例描述】

某公司要采购一批原材料，现从A供应商抽25个样本,方差30,从B供应商抽30个样本,方差10.那么如何比较两个供应商之间是否存在明显差异，怎样直观的判断哪个供应商更好，进而对供应商的选取与管理上有所参考呢？

检验两个供应商之间是否存在明显差异，也就是检验两个供应商提供的原材料的观察值是否相同。设?1为A供应商提供的原材料的观察值，?2为B供应商提供的原材料的观察值，也就是检验下面的假设

H0：?1=?2；H1：?1、?2不全相等 检验上述假设所采用的方法就是方差分析。

6.1 方差分析基础

与第五章的假设检验方法相比，方差分析不仅可以提高检验的效率，同时由于它是将所有的样本信息结合在一起，也增加了分析的可靠性。如，设4个总体的均值分别为?1、?2、μ3、μ4，如果用一般假设检验方法，如t检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要作6次检验：检验1：H0：?1=?2；检验2： H0：?1=μ3；检验3：H0：?1=μ4；检验4：H0：

?2=μ3；检验5：H0：?2=μ4；检验6：H0：μ3=μ4。

很显然，做这样的两两比较十分繁琐。而且，每次检验两个的做法供需进行6次不同的检验，如果显著性水平?=0.05，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，做多次检验会使犯第Ⅰ类错误的概率相应增加，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续做6次检验犯第Ⅰ类错误的概率为1-（1-?）6=0.265，而置信水平则会降低到0.735（即0.956）。

一般来说，随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致的差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。而方差分析法则是同时考虑所有的样本，因此排斥了错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的假设。

为了更好的理解方差分析的含义，下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的有关概念和方差分析所要解决的问题。

例如：某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下， 患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11

健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87 问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？

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应用统计学与EXCEL

一般而言，个体之间的血磷值是有差异的，要分析患者与健康人之间血磷值是否有显著差异，实际上也就是要判断 “是否患克山病” 对血磷值是否有显著影响，作出这种判断最终被归结为检验患者与健康人的血磷值的均值是否相等。如果题目均值相等，就意味着“血磷值”不是判断“克山病”的依据，也就是患者与健康人之间的血磷值没有显著差异；如果均值不相等，则意味着“血磷值”对判断是否患克山病是有影响的，他们之间的血磷值应该有显著差异。

在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子（factor）。因素的不同表现称为水平或处理。每个因子水平下得到的样本数据称为观察值。上例中，要分析患克山病对血磷值是否有显著影响。这里人群是要检验的对象，它被称为“因素”或“因子”； 验患者、健康人是“人群”这一因素的具体表现，称之为“水平”或“处理”；在每个人群得到的样本数据（血磷值）称为观察值。由于这里只涉及“人群”一个因素，因此称为单因素2水平的试验。因素的每一个水平可以看作是一个总体，如患者、健康人可以看作2个总体，上面的数据可以看作从这2个总体中抽取的样本数据。

从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用方差描述其变异情况，则总变异有以下两个来源：

1）组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；

2）组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。 而且：SS总=SS组间+SS组内 v总=v组间+v组内

其中：SS——均差平方和，即样本数据与样本均值之差的平方和；V——自由度。 如果用均方（即自由度v去除以均差平方和的商）代替均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内平均方差去除以组间平均方差的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。

应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件，包括： 1）可比性，若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。 2）正态性，即偏态分布资料不适用方差分析。

3）方差齐性，即若组间方差不齐则不适用方差分析。

6.1.1 单因素方差分析

根据所分析的分类变量的多少，方差分析可分为单因素方差分析和双因素方差分析。当方差分析只涉及一个分类型变量时称为单因素方差分析。

上例只涉及“人群”一个因素，因而属于单因素方差分析方差分析的基本步骤如下：

第一步：建立检验假设。H0：多个样本总体均数相等；H1：多个样本总体均数不相等或不全等。 第二步：计算检验统计量F值。

第三步：确定P值或F临界值并作出推断结果，当P值小于显著性水平时拒绝原假设。

例6-1： 某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下， 患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11

健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87 问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？显著性水平0.05。

解：第一步：建立检验假设：H0：患者和健康人的血磷值相同，没有显著性差异。 第二步：计算F值

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组间均差平方和F?组间自由度

组内均差平方和组内自由度第三步：将统计量的F值与给定的显著性水平?的临界值F?进行比较，然后作出接受或拒绝原假设H0的决策，即根据给定的显著性水平?，在F分布表中查找与第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k（n是样本总数，k是组数） 相应的临界值 F?，若F?F?，则拒绝原假设

H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响；若F?F? ，则

不能拒绝原假设H0 ，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响。具体如图6-1所示：

小概率区域，拒绝H0 不能拒绝H0 ??F 0 F?(k-1,n-k)

结论如下： 图6-1 方差分析的拒绝域与接受域

均差平方和组间组内1.13418183.917613986自由度122F值6.3691828P值0.019337042F临界值4.30094946 由F值=6.369183>F临界值=4.300949或P值=0.019337042<显著性水平0.05可知，应拒绝原假设，患者和健康人的血磷值不同，有显著性差异。

6.1.2 无重复试验的双因素方差分析

如果对试验结果（相应变量）的影响因素不止一个，我们就要进行多因素方差分析。特别地，当影响因素有两个的时候，就进行双因素方差分析。双因素方差分析是分别对两个因素(不妨设为因素A和因素B)进行检验，分析是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或者是两个因素都不起作用。如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无重复试验的双因素方差分析，否则称为可重复双因素方差分析。

例如，为了了解不同品种小麦的产量进行农业试验，选择三块土质相同的试验田，每块又分成面积相等的四小块，把四个不同品种的小麦分别种植在每块试验田里，收获量（kg）如下，检验小麦品种及试验田对收获量是否有显著影响。

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试验田 小麦品种 A1 A2 A3 A4 B1 26 20 21 25 B2 30 25 21 20 B3 22 23 24 19 在这里，影响小麦收获量的因素有两个：小麦品种和试验田。而不同的试验田队收获量的影响与不同的小麦品种对收获量的影响是相互独立的，互不干扰。要检验小麦品种及试验田对收获量是否有显著影响应采用无重复试验的双因素方差分析。

6.1.3 可重复试验的双因素方差分析

可重复的双因素方差分析是用来分析影响某一试验结果的两个不同因素之间关系的一种方法。它与无重复双因素分析相比具有以下几点区别：

（1）调查者对两个因素都感兴趣；

（2）每个因素的每组值都不止一个观察值；

（3）除了每个因素的影响外，分析者也应注意到这些因素之间的相互作用，这些因素的不同组合可能带来不同的影响。

例如，为了了解3种改革方案在3个不同地区促使经济效益提高的状况，现抽样调查，得到数据如下表所示，检验哪些因素对经济效益的提高有显著影响。

方案 B1 B2 B3 地区A1 355 334 395 396 367 372 地区A2 340 357 380 387 356 384 地区A3 335 359 378 380 388 358 在该试验中不同的地区、不同的改革方案以及两者的交互作用都会对经济效益的提高产生影响，因此要分析该试验应采用有重复试验的双因素方差分析。

6.2 用EXCEL作方差分析

6.2.1单因素方差分析 1．检验模型

例6-2：某军区总医院欲研究A、B、C三种解毒药物的解毒效果，将24只小白鼠随机分为四组，其中三个试验组，分别注射不同的解毒药物，对照组不给药。一定时间后测定小白鼠血中胆硷脂酶含量(μ/ml)，如表6-1，问不同解毒药对小白鼠血中胆硷脂酶含量有无显著影响？显著性水平取0.05。

A 23 12 18 16 28 14 B 28 31 23 24 28 34 C 14 24 17 19 16 22 D 8 12 21 19 14 15 表6-1 小白鼠血中胆硷脂酶含量

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第六章 方差分析

在Excel中具体的操作步骤如下：

（1）建立“方差分析”工作表，如图6-2所示。

图6-2 “方差分析”工作表

（2）在单元格A8中输入“样本均值”，在单元格A9中输入“总体均值”。

（3）选择单元格B8，输入公式“=AVERAGE(B2:B7)”，计算样本均值，并将其复制到C8、D8和E8单元格中，得到的值分别是18.50、28.00、18.67和14.83。

（4）在单元格E9中输入公式“=AVERAGE(B2:E7)”，回车后显示20。 （5）建立一个新工作表“计算表”。

（6）分别将单元格A2~A7、A8~A13、A14~A19、A20~A25合并，并分别输入“第一组”、“第二组”、“第三组”和“第四组”，表示样本的组数。

（7）将“方差分析”工作表中B2~B7、C2~C7、D2~D7、E2~E7区域内的数据复制到“计算表”的B2~B25区域中。

（8）在“方差分析”工作表中选择单元格B8，单击“复制”按钮，切换到“计算表”工作表，选定单元格C2~C7，右击选择“选择性粘贴”选项，打开“选择性粘贴”对话框，单击“粘贴链接”按钮。同样方法将“方差分析”表C8、D8和E8中的数据复制到“计算表”的C8~C13、C14~C19、C20~C25区域。 （9）按照步骤（8）的方法将“方差分析”表E9中的数据复制到“计算表”D2~D25区域。“计算表”中的数据如图6-3所示。

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从图6-3可以看出，各组样本数据差异较大，尤其是第4组与第2组的均值具有很大差异。当然，这还不能说明解毒药对小白鼠血中胆硷脂酶含量的影响，因为这种差异也可能是偶然因素造成的，需要进行统计检验。

接例6-2，构造F统计量进行检验，需要利用“计算表”中的数据。

（1）打开“计算表”工作表，在单元格E1、F1、G1中分别输入“(x-xbar)2”、“(xbar-Xbar)2”和“(x-Xbar)2”，分别表示组内方差、组间方差和总方差。在单元格A26中输入“合计”。

（2）在单元格E2中输入“=(B2-C2)^2”，回车后显示20.25。 （3）在单元格F2中输入“=(C2-D2)^2”，回车后显示2.25。 （4）在单元格G2中输入“=(B2-D2)^2”，回车后显示9。 （5）选择单元格E2:G2，并复制到E3:G25区域中。

（6）在单元格E26中输入“=SUM(E2:E25)”，并将其复制到F26和G26。计算结果如图6-4所示。

图6-3 “计算表”工作表

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图6-4 各离差平方和的计算

2．方差分析表

下面用Excel建立方差分析表。

（1）打开“方差分析”工作表和“计算表”工作表。 （2）在“方差分析”工作表的单元格B11~F11中分别输入“平方和”、“自由度”、“均方差”、“F值”、“P值”；分别在单元格A12~A14中输入“组间方差”、“组内方差”和“总方差”。

（3）将“计算表”工作表单元格E26、F26、G26中的数据分别“粘贴链接”到“方差分析”工作表的B13、B12和B14单元格中。

（4）确定各方差的自由度。总方差的自由度是样本容量数之和减1，因此应为6＋6＋6+6-1＝23，在单元格C14中输入23。

（5）在单元格D12中输入“=B12/C12”，并将其复制到D13和D14。 （6）在单元格E12中输入“=D12/D13”，计算F值。

（7）在单元格F12中输入公式“=FDIST(E12,C12,C13)”，回车后显示0.00079，即为P值。计算结果如图6-5所示。

图6-5 方差分析表

因为P值低于显著性水平0.05，应拒绝原假设，所以不同解毒药对小白鼠血中胆硷脂酶含量有显著差异的。

3．单因素方差分析工具

Excel分析工具中具有方差分析模块，利用它分析例6-2可以产生与上述操作相同的结论。具体方法如下：

（1）打开“方差分析”工作表。

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（2）选择“工具”菜单中的“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框，选择“方差分析：单因素方差分析”选项，单击“确定”按钮，进入“方差分析：单因素方差分析”对话框。

（3）在“输入区域”中输入“$B$1: $E$7”，选中“标志位于第一行”复选框，在“?”区域中输入0.05，表明显著性水平。选中“输出区域”，输入“$A$16”，表明以A16为起点放置方差分析结果，如图6-6所示。

图6-6 “方差分析：单因数方差分析”对话框

（4）单击“确定”按钮，输出结果如图6-7所示。

图6-7 单因数方差分析输出结果

例6-3：为实验三种镇咳药(1.可待因，2.复方2号，3.复方1号)，分别用这三种药给三组小白鼠灌胃，测得小白鼠延迟咳嗽时间(秒)如下，比较三种药物的镇咳作用。（?=0.05）

例号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

可待因 60 75 30 105 100 85 20 55 45 30 125

复方1 50 20 45 55 20 15 80 10 105 75 复方2 40 10 35 25 20 15 35 15 5 30 第六章 方差分析

11 12 13 14 15 46 75 60 45 55 10 60 45 60 30 25 70 65 45 60 （1）输入原始数据。

建立“药物试验分析”工作表。在A1、B1、C1、D1单元格中分别输入例号、可待因、复方1、复方2。在A2：A16单元格区域中分别输入1~15，在B2：B16、C2：C16、D2：D16单元格区域中分别输入可待因、复方1、复方2三种药物的数据。如图6-8所示。

图6-8 “药物试验分析”工作表

（2）利用分析工具实现自动计算，得出方差分析结果。

单击“工具”菜单中的“数据分析”命令，弹出数据分析对话框。在分析工具列表中，选择“方差分析：单因素方差分析”工具，单击“确定”按钮，在出现的“方差分析：单因素分析”对话框的“输入区域”中输入$B$1：$D$16；在分组方式中选定“列”单选按钮；选中“标志位于第一行”复选框；在“?”框中输入需要用来计算F值的置信度（0.05）；在“输出选项”中，选定要粘贴计算结果的位置，在本例中选定为$A$18单元格,如图6-9所示。单击“确定”按钮，就得到增重分析结果报告表，如图6-10所示。

图6-9 “方差分析：单因素方差分析”对话框

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（3）根据结果进行判断，得出结论。因为P值=0.021712

直接用F值进行分析，结论也是一样。因为F值=4.201384>F?=3.219942，所以拒绝原假设，表明三种镇咳药对延迟咳嗽时间的效果有显著差异。

6.2.2无重复双因素方差分析

例6-4：为了了解不同品种小麦的产量进行农业试验，选择三块土质相同的试验田，每块又分成面积相等的四小块，把四个不同品种的小麦分别种植在每块试验田里，收获量（kg）如下，试以显著性水平?=0.05检验小麦品种及试验田对收获量是否有显著影响。

试验田 小麦品种 A1 A2 A3 A4 B1 26 20 21 25 B2 30 25 21 20 B3 22 23 24 19 图6-10 单因素方差分析输出结果

（1）建立“无重复方差分析”工作表，将相关数据录入表中，如图6-10所示。

（2）选择“工具”菜单中的“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框，选择“方差分析：无重复双因素分析”选项，单击“确定”按钮，进入“方差分析：无重复双因素分析”对话框。

（3）在“输入区域”中输入“$A$1:$D$5”，选中“标志”复选框，在“?”区域中输入0.05，表明显著性水平。选中“输出区域”，输入“$A$7”，表明以A7为起点放置方差分析结果，如图6-12所示。

图6-11 “无重复方差分析”工作表

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第六章 方差分析

图6-12 “方差分析：无重复双因素方差分析”对话框

（4）单击“确定”按钮，输出结果如图6-13所示。

图6-13 无重复双因素方差分析结果

上图中，“行”指行因素，即地块因素；“列”指列因素，即品种因素。根据方差分析表的计

算结果得出下列结论：

计算结果表明，对于给定的?=0.05，由于F值=1.221053< F?=4.757063，所以不拒绝原假设H0，表明地块的不同不能认为小麦收获量有显著影响，品种的不同对小麦收获量也没有显著影响。

6.2.3可重复双因素方差分析

例6-5：为了了解3种改革方案在3个不同地区促使经济效益提高的状况，现抽样调查，得到数据如下表所示，以显著性水平?=0.01检验不同改革方案、不同地区以及它们之间的交互作用对经济效益的提高是否有显著影响。

方案 B1 B2 B3 地区A1 355 334 395 396 367 372 地区A2 340 357 380 387 356 384 地区A3 335 359 378 380 388 358 （1）建立“重复方差分析”工作表，输入相关数据，如图6-14所示。

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（2）选择“工具”菜单中的“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框，选择“方差分析：可重复双因素分析”选项，单击“确定”按钮，进入“方差分析：可重复双因素分析”对话框。

（3）在“输入区域”中输入“$A$1: $D$7”，在“每一样本的行数”中输入2，在“?(A)”区域中输入0.01，表明显著性水平，在“输出选项”中选择输出区域，本例不妨设定为$A$9，如图6-15所示。

图6-14 “重复方差分析”工作表

图6-15 “方差分析：可重复双因素分析”

（4）单击“确定”按钮，显示输出结果，如图6-16所示。

图6-16 可重复双因素分析结果

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第六章 方差分析

上表中，“样本”指行因素，即地区因素；“列”指列因素，即改革方案因素。根据方差分析计算结果表明得出一下结论：

由于FR=13.84848> F?=8.021517，所以拒绝原假设，这说明地区对经济效益的提高有显著影响。 由于FC=0.11437

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6.3 上机实验六 用Excel进行方差分析

一、实验目的及要求

1．理解方差分析的基本思想，掌握单因素方差分析与双因素方差分析的基本方法。

2．能用Excel进行单因素方差分析和双因素方差分析，会利用Excel方差分析工具对数据进行分析，并做出正确的判断。 二、实验内容

（一）某公司为了了解A、B、C三种不同的营销策略对该公司生产的某产品销售额的影响，随即对4个市场进行试验。其中3个市场分别用不同的营销策略进行销售，第4个市场不采取营销策略。现将该产品4个季度的销售额统计如下：（单位：万元）

季度 策 略 A 1024 1138 1250 1120 B 1108 1225 1180 1068 C 1200 1158 1210 1088 D 988 1024 1150 1025 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 （1）不同的营销策略对该产品的销售额有无显著影响？显著性水平0.05。参照6.2节建立检验模型。

（2）在显著性水平0.05下检验不同营销策略及不同销售季度对销售额有无显著影响？

（二）从本市高考考生中简单随机抽取50人，登记个人的考试成绩、性别、父母文化程度（按父母中较高者，文化程度记作：A——大专以上，B——高中，C——初中，D小学以下）。数据如下：

（500，女，A） （498，男，A） （540，男，A） （530，女，A）

（450，女，A） （400，女，A） （560，男，A） （460，男，A） （510，男，A） （520，女，A） （524，男，A） （450，男，B） （490，女，B） （430，男，B） （520，男，B） （540，女，B） （410，男，B） （390，男，B） （580，女，B） （320，男，B） （430，男，B） （400，女，B） （550，女，B） （370，女，B） （380，男，B） （470，男，B） （570，女，C） （320，女，C） （350，女，C） （420，男，C） （450，男，C） （480，女，C） （530，女，C） （540，男，C） （390，男，C） （410，女，C） （310，女，C） （300，男，C） （540，女，D） （560，女，D） （290，女，D） （310，男，D） （300，男，D） （340，男，D） （490，男，D） （280，男，D） （310，女，D） （320，女，D） （405，女，D） （410，男，D）

（1）试检验学生的考试成绩与性别是否显著地统计相依（显著水平标准0.05）； （2）试检验学生的考试成绩与家长的文化程度是否显著地统计相依（显著水平0.05）。 三、实验结果分析

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第六章 方差分析

【小 结】

方差分析是用来推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义，即判断分类变量对数值变量是否有显著影响。本章介绍了方差分析的基本思想和操作步骤；单因素方差分析；无重复试验的双因素方差分析；可重复试验的双因素方差分析。

【思考与练习题】

1．某银行支行为了对其下属分理处的服务质量进行评价，在网上银行服务、电话银行服务、ATM服务、柜台储蓄业务分别进行了调研，其中网上银行调研了7家，电话银行调研6家，信用卡调研5家、柜台储蓄调研5家，然后记录了一年中客户对不同银行服务的投诉次数，结果如表所示。试分析这四个业务的服务质量是否有显著差异？(?＝0.05)

业务A（i） 观测值（j） 1 2 3 4 5 6 7 网上银行A1 37 45 56 45 64 43 37 电话银行A2 62 48 61 52 46 50 ATMA3 51 49 48 63 69 柜台储蓄A4 70 68 60 55 47

2．一位研究者感兴趣影响儿童阅读能力的因素。研究者认为儿童的年龄和每次阅读时间可能是重要的影响因素，，设计了以下实验：选取三个年龄组的儿童：3 岁、8 岁、 和 14 岁，将每个年龄组的儿童随机分配到三个阅读条件。 组 1阅读时间为 5 分钟；组 2为15 分钟；对于组 3为30 分钟。两个星期之后测试了这些儿童的阅读能力如下表所示， 试分析年龄和每次阅读时间对儿童阅读能力的影响。 5 分钟 65 3 岁 56 75 65 年龄 6 岁 75 78 75 10 岁

78 82 阅读时间 15 分钟 68 72 75 60 65 78 75 68 72 30 分钟 50 65 56 70 75 68 82 80 85 132

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