【湘教版】九年级数学上册：1.2《反比例函数的图象与性质》(3)教

反比例函数的图象与性质

教学目标

【知识与技能】

1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】

经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】

能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.

【教学重点】

理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】

学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 教学过程

一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？

【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知

1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k1x,y=

k2,其中，k1,k2是常数，且均不为0. x由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点

k24解得，k1=? k2=-12所以，正－33412比例函数解析式为y=?x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图.

3xP的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k1×(-3),4=

- 1 -

【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=

6的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与x坐标轴围成的矩形面积为S1= ；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？

【归纳结论】反比例函数y=

kk（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线y=（kxx≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.

【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．

三、运用新知，深化理解

1.已知如图，A是反比例函数y=kx的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( )

A.3 B.-3 C.6 D.-6

分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝

1|k|． 2- 2 -

解：根据题意可知：S△AOB＝则k＝6．

【答案】 C 2.反比例函数y=

1|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，262与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别xx交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为( )

A.

1 B.2 C.3 D.1 2

分析：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．

解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3， S△BOC=1，∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2．

【答案】 B

3.已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线y=b的值．

k的交点为B(－2，m)和C，求k、x - 3 -

解：点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3．一次函数的解析式为：y＝x－3．又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=

4.已知反比例函数y=

k上，所以k＝－2×(－5)＝10． xk1的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1)． x(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析:

(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．

(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．

解：

(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2． 1＝2k2－1，k2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=

2；一次函数解析式为：y＝x－1． x(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=

2=－1，所以点A在反比例函数图象上．把A′点的横坐标代入一次函数?2解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A′不在一次函数图象上．

5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－

3的图象上． x(1)求a的值．

(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．

- 4 -

(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．

(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小． 分析：

(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．

(2)由 (1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．

(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题．

一次函数和反比例函数的图象为：

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(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1．

(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.

或解：当x1＝m时，y1＝－2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝－2×(m＋1)＋1＝－2m－1所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2.

6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y=

m的图象交于A、B两点． x(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．

分析:

(1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式． (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．

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【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业

布置作业：教材“习题1.2”中第6题.

通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调： 教学反思

1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法． 2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．

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