高考数学 一轮复习 第6讲 正弦定理和余弦定理(教师版)

第6讲 正弦定理和余弦定理

【2013年高考会这样考】

1．考查正、余弦定理的推导过程．

2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】

1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．

2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．

基础梳理

abc

1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

abc

(3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

以变形为：cos A＝2bc，cos B＝2ac，cos C＝2ab.

111abc1

3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角 A为钝角或直角 图形 1

关系 式 解的 个数 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 无解 一解 两解 一解 一解 无解

一条规律

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 两类问题

在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )． A．52 106C.3

B．102 D．56

解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°， ac

由正弦定理得：sin A＝sin C， 即

10c106＝.∴c＝3. 3222

答案 C

sin Acos B

2．在△ABC中，若a＝b，则B的值为( )． A．30° B．45° C．60° D．90° 解析 由正弦定理知：

sin Acos B

.

sin A＝sin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°

2

答案 B

3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75° b2＋c2－a21＋4－31解析 由余弦定理得：cos A＝2bc＝＝，

2×1×22∵0＜A＜π，∴A＝60°. 答案 C

1

4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝3，则△ABC的面积为( )． A．33 B．23 C．43 D.3 1

解析 ∵cos C＝3，0＜C＜π， 22

∴sin C＝3， 1

∴S△ABC＝2absin C

122

＝2×32×23×3＝43. 答案 C

5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a2＋b2－c2＝－3ab， a2＋b2－c23

∴cos C＝2ab＝－2， 故C＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°

考向一 利用正弦定理解三角形

【例1】?在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.

[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．

ab32解 由正弦定理得sin A＝sin B，sin A＝sin 45°，

3

3

∴sin A＝2. ∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， 6＋2bsin C

c＝sin B＝2；

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， 6－2bsin C

c＝sin B＝2.

(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

π

【训练1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________. 解析 因为△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角， sin A

且cos A＝2，sin2A＋cos2A＝1， 25

联立解得sin A＝5， ab

再由正弦定理得sin A＝sin B， 代入数据解得a＝210. 答案

25

5 210

考向二 利用余弦定理解三角形

cos Bb

【例2】?在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos C＝－.

2a＋c(1)求角B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．

cos Bb

[审题视点] 由cos C＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．

2a＋ca2＋c2－b2

解 (1)由余弦定理知：cos B＝

2ac， a2＋b2－c2

cos C＝2ab.

4

cos Bb

将上式代入cos C＝－得：

2a＋ca2＋c2－b22abb

·＝－， 2aca2＋b2－c22a＋c整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2－ac1∴cos B＝2ac＝2ac＝－2. 2∵B为三角形的内角，∴B＝3π. (2)将b＝13，a＋c＝4，

2

B＝3π代入b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 1??

∴13＝16－2ac?1－2?，∴ac＝3.

??133

∴S△ABC＝2acsin B＝4.

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．

(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且A

2cos2 2＋cos A＝0. (1)求角A的值；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积． A

解 (1)由2cos2 2＋cos A＝0， 得1＋cos A＋cos A＝0， 1

即cos A＝－，

22π

∵0＜A＜π，∴A＝3. (2)由余弦定理得，

2π

a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝3， 则a2＝(b＋c)2－bc，

5

又a＝23，b＋c＝4， 有12＝42－bc，则bc＝4， 1

故S△ABC＝2bcsin A＝3.

考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状

【例3】?在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C， 得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]， 即b2sin Acos B＝a2cos Asin B，

即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Bsin B，所以sin 2B＝sin 2A， 由于A，B是三角形的内角． 故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π. 故只可能2A＝2B或2A＝π－2B， π

即A＝B或A＋B＝2. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含

角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．

abc

【训练3】 在△ABC中，若cos A＝cos B＝cos C；则△ABC是( )． A．直角三角形 C．钝角三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

解析 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆半径)． sin Asin Bsin C∴cos A＝cos B＝cos C.

即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 答案 B

考向三 正、余弦定理的综合应用

π

【例3】?在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝3. (1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

6

(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．

解 (1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.

22

?a＋b－ab＝4，1

又因为△ABC的面积等于3，所以2absin C＝3，得ab＝4，联立方程组?解得

ab＝4，?

?a＝2，

? ?b＝2.

(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即sin Bcos A＝2sin Acos A. ππ

当cos A＝0，即A＝2时，B＝6， 4323a＝3，b＝3；

当cos A≠0时，得sin B＝2sin A， 由正弦定理，得b＝2a.

22

?a＋b－ab＝4，

联立方程组?

b＝2a，?

23

??a＝3，解得?

43?b＝?3.

123所以△ABC的面积S＝2a bsin C＝3.

正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限

的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．

4

【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝5，b＝2.

(1)当A＝30°时，求a的值；

(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

7

43

解 (1)因为cos B＝5，所以sin B＝5. aba10

由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30°＝3， 5所以a＝3. 13

(2)因为△ABC的面积S＝2ac·sin B，sin B＝5， 3

所以10ac＝3，ac＝10.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

8

得4＝a2＋c2－5ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以a＋c＝210.

阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错

【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,

【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.

【示例】?(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．

错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 实录 由1＋2cos(B＋C)＝0， 1π知cos A＝2，∴A＝3， ab

根据正弦定理sin A＝sin B得： sin B＝

bsin A2π3π

＝，∴B＝a24或4.

以下解答过程略．

正解 ∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，

8

π

∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝3. ab

在△ABC中，根据正弦定理sin A＝sin B， ∴sin B＝

π5

∵a＞b，∴B＝4，∴C＝π－(A＋B)＝12π. ∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A 6＋22123

＝2×2＋2×2＝4. ∴BC边上的高为bsin C＝2×

6＋23＋1

＝42. bsin A2

＝a2.

【试一试】 (2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝2a. b

(1)求a；

(2)若c2＝b2＋3a2，求B. [尝试解答] (1)由正弦定理得， sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即 sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A. b

故sin B＝2sin A，所以a＝2.

?1＋3?a

(2)由余弦定理和c＝b＋3a，得cos B＝2c. 2

2

2

由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.

12

可得cos2B＝2，又cos B＞0，故cos B＝2，所以B＝45°.

9

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