激光原理与技术讲稿

ik?u(x,y)?4?e?ik?1cos?)ds' ??u(x',y')（＋M'?式中的?与?都是源点及观察点的坐标x',y',x,y的函数，这样的积分方程运算起来相当麻烦，需要先对此方程做一些近似处理。对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长?。即

L,R??a???

首先，式中?的值一般很小，因子1?cos?可用2代替。其次，分母中的?可以用腔长L来代替。这里要注意的是，指数中的?—般情况下是不能用L来代替的，这是由于指数因子中与?相乘的光波矢k的值是很大的，用L代替?会引起较大的误差，只能根据不同的镜面形状再做不同的近似处理。

?mnumn(x,y)???K(x,y,x',y')umn(x',y')ds'

式中

K(x,y,x',y')?ik?ik?(x,y,x'y')i?ik?(x,y,x'y')e?e 2?L?L称为积分方程的核。umn与?mn的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。由于积分方程是二维的，故需要两个模参数来区分这些不同的自再现模。

三、积分方程解的物理意义

本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。可以写出

arguq?1?arg??arguq

而自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为

???arguq?1?arguq

因此有

???arg?

另外，自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移kL，它们的关系为

????kL???

??表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移。当??＞0

时，表示有附加相位超前，当??＜0时，表示有附加相位滞后。

??mn?kL?arg?mn

这说明单程附加相移与本征值?mn的幅角有关，不同的横模单程附加相移也不同。

2.5平行平面腔的自再现模

上节从对称开腔中的自再现模积分方程出发，讨论了方程解的物理意义，建立了激光模式的概念以及激光器输出频率和频率间隔的计算方法。除了激光的频率以外，在应用激光的时候还必须了解输出激光的具体场分布，从而控制激光的强度和位相。为此，需要求解对称开腔中的自再现模积分方程。该方程是个具有连续对称核的线性齐次积分方程，在积分方程

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的理论中称为第二类弗里德霍姆方程。数学上可以证明，这种方程的解是存在的，但是，至今仍未找到通用的解析求解方法。对不同结构的腔只能采用不同的方法求解，如对于平行平面腔，可用迭代法进行数值计算，结果用图或表的形式给出。

2.6对称共焦腔的自再现模

对于对称共焦腔，则可用解析法求出方程的精确解以及近似解的解析表达式。本节以方形镜面的对称共焦腔(以下简称共焦腔)为例，求解积分方程，给出场函数umn的具体表示式。从而得到在共焦腔镜面上的场分布，并由此导出激光谐振腔内外的空间场分布，得到输出激光的强度和位相。

一、方形球面镜共焦腔模式积分方程及其解

设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L(根据共焦腔的定义，镜面的曲率半径R等于腔长L)，光波波长为λ，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意

a2?L?????的近轴情况下，积分方程 点，则在L,R??a???及?L?a?umn?CmnHm(X)Hn(Y)e本征值近似解

?i[kL?(m?n?1)]22?X2?Y22

??mn?e

上式中m＝0，1，2，3，?；n＝0，1，2，3，?，Cmn为一个和m、n有关的常数，X?x2?，?LY?y2?，Hm?X?和Hn?Y?均为厄密多项式，其表示式为： ?LH0(X)?1H1(X)?2XH2(X)?4X2?2

dm?X2Hm(X)?(?1)eedXmmX二、镜面上自再现模场的特征

积分方程的本征函数决定了镜面上的光场分布，其中本征函数的模决定振幅分布，幅角决定相位分布。单程衍射损耗和单程相移则与积分方程的本征值有关。讨论光场分布的这几方面问题。 1.振幅分布

若令：Fm(X)?Hm(X)e则

?X22Y22；Fn(Y)?Hn(Y)e?，

umn?CmnFm(X)Fn(Y)

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由于光强I是正比于光振动u的平方的，于是有

2I?umn2?Fm(X)Fn2(Y)

图(2-6)画出了m=0，1，2和n=0，1的Fm(X)?X及Fn(Y)?Y的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布，与给出的激光器输出的横模的光斑图像完全一样。

图（2-6） Fm(X)?X及Fn(Y)?Y的变化曲线及相应的光强分布

激光的模式也常用微波中标志模式的符号来标记，记做TEMmnq，其中TEM00是基横模。由Fm(X)、Fn(Y)函数的特点看出，m、n的数值正好分别等于光强在x，y方向上的节线(光强为零的线)数目，而且由Fm(X)和Fn(Y)函数的极值分布看出，m、n的数值越大，光场也越向外扩展。

当m＝0，n＝0时，基横模TEM00场分布为

u00?C00e?x2?y2?L/?

可见，镜面上的场分布与镜面的半宽度a无关，沿横向的分布是高斯型分布。在镜面中心，场的振幅最大。因此，可定义一个镜面上基模的“光斑有效截面半径”ws，使得在距离镜中心ws处的场振幅下降为镜中心之值的e倍，基模光束的光能量集中在光斑有效截面圆

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内。ws值为

ws?xs2?ys2??L ?增大镜面宽度，只减小衍射损耗，对光斑尺寸并无影响。而且，共焦腔的光斑非常小。例如，腔长30厘米的氦氖激光器采用共焦腔时，ws仅0.5毫米。 2.相位分布

由于umn(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场相位相同，无论对基模还是高阶横模，共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。 3.单程衍射损耗

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计算单程衍射损耗，如果利用?mn近似解，则有?mn＝0。要想详细讨论单程衍射损耗，

?mn必须用精确解。一般说来常将单程衍射损耗忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取

时必须考虑它。 4.单程相移与谐振频率 方形镜共焦腔单程相移为

??mn??m?n?1?可见，其附加相位超前，其超前量随横模阶数而变。

方形镜共焦腔的谐振频率

?2

?mnq?c?1? ??q?m?n?1?2?L?2????q?c2?L可见，同一横模、两个相邻纵模的频率间隔仍为

而同一纵模两个相邻的横模之间的频率间隔则为

??m???n?1??q 2也就是说，??m、??n与??q属于同一个数量级。这样一来，共焦腔对谐振频率出现了高度简并的现象。即所有2q?m?n相等的模式都将具有相同的谐振频率。如TEMmnq，

TEMm?1,n?1,q，TEMm?2,n,q?1，?等都有相同的谐振频率。这种现象对激光器的工作状态会

产生不良影响，因为，所有频率相等的模式都处在激活介质的增益曲线的相同位置处，从而彼此间产生强烈的竞争作用。导致多模振荡，使输出激光光束质量变坏。图(2-7)画的是方形镜共焦腔的振荡频谱。

图（2-7） 方形镜共焦腔的振荡频谱

对于圆形镜共焦腔，它的分析方法和方形镜共焦腔的分析方法完全一样，只是求解时要用球坐标处理。这里仅给出一个重要结果，即圆形镜共焦腔谐振频率：

?mnq?三、方形球面镜共焦腔的行波场

c?1??? q?m?2n?1?2?L?2??上一节讨论了镜面上光场分布，然而激光器的输出要求知道光束在腔内外的空间分布，这就要求找出腔内外任意一点的光振动的表示式。

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腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布umn(x1,y1)在腔内造成的行波求得。这一行波被镜面M2反射使得传播方向相反的两列行波在腔内叠加而形成驻波。该驻波场的分布就是腔内的光场分布。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。实际上，就是行波函数乘以镜面的透射率t。

将镜面场分布umn(x1,y1)代入基尔霍夫衍射公式(3-1)，引入无量纲参量??腔的中心为坐标原点，积分求解可以得到：

2z，选择L?22??22??umn?x,y,z??CmnHm??xH??1??2w?n?1??2wss????2x2?y2?exp???1??2?w2??exp??i??x,y,z??s???y???

?L?x2?y2????????x,y,z??k??1?????m?n?1???? ?1??L??2??2??arctg1??L?2z?arctg1??2z

上式中各量如图(2-8)所示，其中umn(x,y,z)是空间P(x,y,z)点的场函数。Cmn是一个与

m,n有关的常量，对于空间场函数的分布没有影响，以下予以忽略。其中?(x,y,z)描述了

波阵面上的相位分布，称为相位因子。

图（2-8） 计算腔内外的光场分布

2.7一般稳定球面的模式理

因为

HmHn是厄密多项式，由m?n项组成，实际上也由m?n项组成。其中

m?0,n?0的一项是镜面场分布的基横模衍射生成的基横模行波场分布，通常也记做

TEM00行波。基横模行波场是最简单的一项，也是激光器输出的最重要的一部分。使用激

光也常常只用它的基横模输出。因为基横模行波输出在与光束前进方向的垂直平面上的强度分布呈高斯型，通常称做是高斯光束。高斯光束体现出激光光束与普通光源发出的光束不同的基本特点，对于激光的应用有极其重要的意义。

2.8高斯光束

除了基横模以外的各种高阶模的强度分布都在光斑中呈现出至少一条光强极小的节线，因而光强分布十分不均匀。这就大大限制了高阶模的应用范围。基横模输出是相对均匀的，

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第一章 激光的基本原理及其特性

激光技术是二十世纪六十年代初发展起来的一门新兴学科。激光的问世引起了现代光学技术的巨大变革。激光在现代工业、农业、医学、通讯、国防、科学研究等各方面的应用迅速扩展，之所以在短期间获得如此大的发展是和它本身的特点分不开的。

激光与普通光源相比较有三个主要特点，即方向性好，相干性好和亮度高，其原因在于激光主要是光的受激辐射，而普通光源主要是光的自发辐射。研究激光原理就是要研究光的受激辐射是如何在激光器内产生并占据主导地位而抑制自发辐射的。本章首先从光的辐射原理讲起，讨论与激光的发明和激光技术的发展有关的各方面物理基础和产生激光的条件。

光的辐射既是一种电磁波又是一种粒子流，激光是在人们认识到光有这两种相互对立而又相互联系的性质后才发明的。因此本章从介绍光的波粒二象性开始研究原子的辐射跃迁。激光的产生又是光与物质的相互作用的结果，对光的平衡热辐射和光与物质的相互作用 (光的自发辐射、受激辐射、受激吸收) 的研究是发明激光的物理基础。光谱线的宽度，线型函数是影响激光器性能的重要因素，提高激光的单色性是激光技术的发展的一个重要方向。阐明上述这些基础后，本章最后一节讨论激光产生的条件。

1. 1 激光的特性

光的一个基本性质就是具有波粒二象性。人类对光的认识经历了牛顿的微粒说、惠更斯菲涅耳的波动说到爱因斯坦的光子说的发展，最后才认识到波动性和粒子性是光的客观属性，波动性和粒子性总是同时存在的。一方面光是电磁波，具有波动的性质，有一定的频率和波长。另一方面光是光子流，光子是具有一定能量和动量的物质粒子。在—定条件下，可能某一方面的属性比较明显，而当条件改变后，另一方面的属性变得更为明显。例如，光在传播过程中所表现的干涉、衍射等现象中其波动性较为明显，这时往往可以把光看作是由一列一列的光波组成的；而当光和实物互相作用时(例如光的吸收、发射、光电效应等)，其粒子性较为明显，这时往往又把光看作是由一个一个光子组成的光子流。

一、光波的概述

光波是一种电磁波，即变化的电场和变化的磁场相互激发，形成变化的电磁场在空间的

??传播。光波既是电矢量E的振动和传播，同时又是磁矢量B的振动和传播。在均匀介质中，

?????EBB电矢量的振动方向与磁矢量的振动方向互相垂直，且E、均垂直于光的传播方向k。三者方向上的关系如图（1-1）所示。

图（1-1） 电磁波的传播

??E，因此，以后着重讨论电矢量E的振动及传播。习惯上常把电矢量叫做光矢量。由图1-1

可知，电矢量振动方向和传播方向垂直，因此光波是一种横波。

实验证明，光对人的眼睛或感光仪器（如照相底板、热电偶）等起作用的主要是电矢量

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1.线偏振光

设光波沿z轴方向传播，则光矢量的振动方向必在与z轴垂直的xy平面内。但是， 在

?xy平面内，光矢量E还可能有不同的振动状态。如果光矢量始终只沿一个固定方向振动，

这样的光称为线偏振光(或面偏振光)。普通光源发出的光，包括许多彼此独立的线偏振成分，它们的电矢量振动方向都在xy平面内，各取不同的方位，这样的光叫自然光。

? 根据矢量分解原理，在xy平面内电矢量E的任一振动总可以分解成一个沿x方向的分

振动和一个沿y方向的分振动。也就是说，一般的线偏振光总可以分解为沿x和y方向振动的位相相同或相反的两个线偏振光。显然这两种线偏振光的电矢量互相垂直且均垂直于传播方向。

2. 光速，频率和波长三者的关系

电磁波的波长范围非常宽，按其波长长短顺序，大体可分为无线电波、红外光、可见光、紫外光、x射线及γ射线，具体波长划分见图（1-2）电磁波谱图。图中表明各区域有所交错，可见光的波长范围只占整个电磁波谱的一个极小部分。目前通用激光器中常用电磁波在可见光或接近可见光范围，波长约从0.3?m—30?m(红外)，其相应频率由10Hz—10Hz。

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图（1-2） 电磁波谱图

光在真空中传播的速度c是一个重要的物理常数，实验测得的光速值为

c?2.998?108m/s?3?108m/s

光的频率就是光矢量每秒钟振动的次数，光振动的周期是完成一次振动所需的时间，频率?和周期T的关系互为倒数

1 (1-1) T 光的真空波长指振动状态经历一个周期在真空中向前传播的距离，用字母?0表示。所

??以，在真空中光速、频率和波长有如下的关系

c??0? (1-2)

实验证明光在各种介质中传播时，保持其原有频率?不变，而速度?各不相同，它等于真空中的光速c的1/?倍，?为介质的折射率，即介质中光速?为

??c? (1-3)

由于各种介质的折射率?总是大于l，所以?总是小于c。各种气体的折射率比l大得不多，可粗略地把各种气体的折射率当作1看待。由于不同介质的折射率不同，光速不同，所以同频率的光在不同介质中的波长?也不同，可以证明光在折射率为?的介质中的波长

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?是真空中波长?0的1/?。介质中光速、频率和波长则有如下的关系

???? (1-4)

二、光 子

前面指出，当光和物质作用时，如果产生原子对光的发射和吸收的话，那么光的粒子性就表现得较为明显。这时往往把光当作一个一个以光速c运动的粒子流看待。光的量子学说真空中波长?0之间有如下数值上的关系

?（光子说）认为，光子和其它基本粒子一样，具有能量?和动量P，它们与光波的频率?、

??h? (1-5)

?h??h?h2??h?P?n0?n0??n0?k (1-6)

c?02??02??-34

式中h＝6.63×10J·s，称作普朗克常数。光子的动量P是一个矢量，它的方向就是光子

?运动的方向，即光的传播方向n0。?为每一个光子的能量，光的能量就是所有光子能量的

总和。当光与物质(原子、分子)交换能量时，光子只能整个地被原子吸收或发射。

?公式(1-5)、(1-6)把表征粒子性的能量?和动量P与表征波动性的频率?和波长?0联

系起来了，体现了光的波粒二象性的内在联系。光的频率越高，光子的能量就越大。红外光与可见光相比，其频率较低，故它的光子能量就较小。可见光、紫外光、X射线、?射线的频率依次增高，相应的光子能量也逐渐增大。

上述两个基本关系式后来为康普顿(Compton)散射实验所证实(1923年)，并在现代量子电动力学中得到理论解释。量子电动力学从理论上把光的电磁(波动)理论和光子(微粒)理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，从而在理论上阐明了光的波粒二象性。

三、原子的能级和辐射跃迁

1.原子能级和简并度

物质是由原子、分子或离子组成的，而原子是由带正电的原子核及绕核运动的电子组成。核外电子的负电量与原子核所带正电量相等。电子一方面绕核作轨道运动，一方面本身作自旋运动。由原子物理学知道，原子中电子的状态应由下列四个量子数来确定：

1）．主量子数n：n＝1，2，3，?。主量子数大体上决定原子中电子的能量值。不同的主量子数表示电子在不同的壳层上运动。

2）．辅量子数l：l＝0，l，2，?(n－1)，它表征电子有不同的轨道角动量。对于辅量子数为l＝0，l，2，3等的电子，顺次用s,p,d,f字母表示，习惯上叫它们为s电子，

p电子等。

3）．磁量子数ml：ml?0，，?1，?2，?? l。磁量子数可以决定轨道角动量在外磁场方向上的分量。

4）．自旋磁量子数ms：ms＝?1/2，自旋磁量子数决定电子自旋角动量在外磁场方向上的分量。

电子具有的量子数不同，表示电子的运动状态也不同。电子在原子系统中运动时，可以处在一系列不同的壳层状态或不同的轨道状态，电子在一系列确定的分立状态运动时，相应地有一系列分立的不连续的能量值。这些能量通常叫电子(或原子系统)的能级。依次用

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E1,E2,E3,?En表示。

2．辐射跃迁选择定则

原子辐射或吸收光子，并不是在任意两个能级之间都能发生跃迁的，能级之间必须满足下述选择定则才能发生原子辐射或吸收光子的跃迁。

(1)跃迁必须改变奇偶态。即原子发射或吸收光子，只能出现在一个偶态能级到另一个奇态能级，或一个奇态能级到另一个偶态能级之间。

(2)?J=0，?1(J＝0?J=0除外)。

对于采用LS耦合的原子还必须满足下列选择定则： (3) ?L＝0，?1(L＝0?L=0除外)。 (4) ?S＝0，即跃迁时S不能发生改变。

仍以氦原子为例，基态l3S1和两个激发态23S1、21S0都属于偶态，因此这三个能级之间都不满足选择定则(1)，因此氦的23S1，21S0都是亚稳能级。现在已知氦原子处于23S1 能级的平均寿命约为104s，处于21S0能级的平均寿命约为5×l0-6s。

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1.4. 激光产生的必要条件

一、辐射跃迁和非辐射跃迁

一个处于高能级E2的原子，总是力图使自己的能量状态过渡到低的能级E1，因为能级低的状态比较稳定。但是，并不是从任何一个高能级都可以通过辐射光子而跃迁到低能级的，只有满足辐射跃迁选择定则时，一个处于高能级E2的原子才可能通过发射一个能量为

??h??E2?E1的光子，使它跃迁到低能级E1。对于相反的过程，也只在满足辐射跃

迁选择定则时，一个处于低能级E1的原子才可能吸收一个能量为??h??E2?E1的光

子使该原子跃迁到高能级E2。这种发射或吸收光子从而使原子造成能级间跃迁的现象叫做辐射跃迁。它必须满足辐射跃迁选择定则。

非辐射跃迁表示原子在不同能级跃迁时并不伴随光子的发射或吸收，而是把多余的能量传给了别的原子或吸收别的原子传给它的能量，所以不存在选择定则的限制。对于气体激光器中放电的气体来说，非辐射跃迁的主要机制是由原子和其它原子或自由电子的碰撞或原子与毛细管壁的碰撞来实现的。固体激光器中，非辐射跃迁的主要机制是激活离子与基质点阵的相互作用，结果使激活离子将自己的激发能量传给晶体点阵，引起点阵的热振动，或者相反。总之，这时能量间的跃迁并不伴随光子的发射和吸收。

二、光和物质的作用

原子、分子或离子辐射光和吸收光的过程是与原子的能级之间的跃迁联系在一起的。光与物质(原子、分子等)的相互作用有三种不同的基本过程，即自发辐射、受激辐射及受激吸收。对一个包含大量原子的系统，这三种过程总是同时存在紧密联系的。不同情况下，各个过程所占比例不同，普通光源中自发辐射起主要作用，激光器工作过程中受激辐射起主要作用。

对于由大量同类原子组成的系统，原子能级数目很多，要全部讨论这些能级间的跃迁，问题就很复杂，也无必要。为突出主要矛盾，只考虑与产生激光有关的原子的两个能级E2和E1 (E2

?E1，而且它们满足辐射跃迁选择定则)。这里虽然只讨论两个能级之间的跃迁，

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使问题大为简化，但并不影响能级之间跃迁规律的普遍性。

1. 自发辐射

在通常情况下，处在高能级E2的原子是不稳定的。在没有外界影响下，它们会自发地从高能级E2向低能级E1跃迁，同时放出能量为h?的光子，

h??E2?E1

这种与外界影响无关的，自发进行的辐射称为自发辐射。

自发辐射的特点是每个发生辐射的原子都可看作是一个独立的发射单元，原子之间毫无联系而且各个原子开始发光的时间参差不一，所以各列光波频率虽然相同，均为?，但各列光波之间没有固定的位相关系，各有不同的偏振方向，并且各个原子所发的光将向空间各个方向传播。可以说，大量原子自发辐射的过程是杂乱无章的随机过程。所以自发辐射的光是非相干光，图(1-3)表示自发辐射的过程。

图（1-3） 光的自发辐射

虽然各个原子的发光是彼此独立的，但是对于大量原子统计平均来说，从能级E2经自发辐射跃迁到E1具有一定的跃迁速率。用n2表示某时刻处在高能级E2上的原子数密度(即单位体积中的原子数)。用?dn2表示在dt时间间隔内由高能级E2自发跃迁到低能级E1的原子数，则有：

?dn2?A21n2dt

等式左边“－”号表示E2能级的粒子数密度减少。其中比例系数A21称为爱因斯坦自发辐射系数，简称自发辐射系数，它是粒子能级系统的特征参量，即对应每一种粒子中的两个能级就有一个确定的A21值。上式可改写为

A21??dn2 n2dt可见，A21的物理意义是单位时间内，发生自发辐射的粒子数密度占处于E2能级总粒子数密度的百分比。也可以说，A21是每一个处于E2能级的粒子在单位时间内发生自发跃迁的几率。

重新整理并对等式两边积分得

n2(t)?n20e?A21t

式中n20为t?0时，处于能级E2的原子数密度。表明，激发态的原子数密度如无外界能源激发补充，则由于自发辐射将随时间作指数衰减。由全部原子完成自发辐射跃迁所需时间之和对原子数平均可以得到自发辐射平均寿命，它等于原子数密度由起始值降到1/e所用的时间，用?表示有

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穿过增益介质时，在获得增益的同时，又会因上述损耗的存在以相对速率a内而减小，a内称为内部损耗系数，和增益系数一样具有L量纲。它表示光通过单位长度介质时光强的相对损耗率，介质越长，因内损耗而失去的光能量也越多，此时，光在增益介质中的变化规律就由(1-91)式变为下式

?1I?I0exp?G?a内?z

2.镜面损耗

用r1、r2和t1、t2分别代表谐振腔反射镜M1、M2的反射系数和透射系数，当强度为I的光波射到镜面上时，其中r1I部分(或r2I)反射回腔内继续放大，其余部分对谐振腔来说都是损耗，这些损耗包括：由镜面上透射出去作为激光器对外输出的t1I(或t2I)，镜面的散射、吸收以及由于光的衍射使光束扩散到反射镜范围以外而造成的损耗，后者用a1I(或a2I)表示，这些损耗统称为镜面损耗。应当注意：与内损耗系数a内不同，反射系数、透射系数r1、

r2、t1、t2和镜面损耗a1、a2都是无量纲的参数。

2.3稳定性条件

激光是在光学谐振腔中产生的。上一章已经指出谐振腔对激光的形成和激光束的特性起重要的作用，它的主要功能之一是使光在腔内来回反射多次以增长激活介质作用的工作长度，提高腔内的光能密度。如图（1-21）所示的两块平面镜就可以使与平面垂直的光线在腔内来回反射任意多次而不会投射到平面镜的通光口径之外。显而易见的是，不垂直于反射镜表面的傍轴光线经过有限次的反射就会投射到平面镜的通光口径之外，而使得激活介质作用的工作长度只得到很有限的增长。所以，光线能够在谐振腔中反射的次数与其结构密切相关。能够使腔中任一束傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔能够使激光器稳定地发出激光，这种谐振腔叫做稳定腔，反之称为不稳定腔。

一、共轴球面谐振腔的稳定性条件

光学谐振腔都是由相隔一定距离的两块反射镜组成的。无论是平面镜还是球面镜，无论是凸面镜还是凹面镜，都可以用“共轴球面”的模型来表示。因为只要把两个反射镜的球心连线作为光轴，整个系统总是轴对称的，两个反射面可以看成是“共轴球面”。平面镜是半径为无穷大的球面镜。如果其中一块是平面镜，可以用通过另一块球面镜球心与平面镜垂直的直线作为光轴。平行平面腔的光轴则可以是与平面镜垂直的任一直线。当然两个平面镜不平行不能产生谐振，不在讨论之列。

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图（2-3）共轴球面腔结构示意图

如图（2-3）所示，共轴球面腔的结构可以用三个参数来表示：两个球面反射镜的曲率半径R1、R2，和腔长即与光轴相交的反射镜面上的两个点之间的距离L。如果规定凹面镜的曲率半径为正，凸面镜的曲率半径为负，可以证明，共轴球面腔的稳定性条件是

?L??L?????0??1????1???1 RR1??2??上式左边成立的条件等价于??1???L??L????1?和同时为正或同时为负，这就要求两镜面的???R1??R2?曲率半径为正时必须同时大于腔长或同时小于腔长。如果镜面的曲率半径同时为负，尽管上式左边成立，右边的不等式却不成立。如果镜面的曲率半径一正一负，则需要具体讨论。

二、共轴球面腔的稳定图

为了直观起见,常用稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件。首先定义两个参数

L?g?1??1R1? ?L?g?1?2?R2?共轴球面谐振腔的稳定性条件（2-1）式可改写为

0?g1?g2?1

当

g1?g2?0时为非稳腔；当

或g1?g2?1

g1?g2?0时为临界腔。

或g1?g2?1

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图（2-4） 稳定腔图

利用稳定条件可将球面腔进一步分类如下：

以gl为横轴，g2为纵轴建立直角坐标系，画出g1g2＝1的两条双曲线。由gl、g2轴和g1g2

＝1的两条双曲线可以区分出限定的区域，如图（2-4）所示。图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区，其中包括坐标原点。图中画有斜线的阴影区为不稳定区，在稳定区和非稳区的边界上是临界区。对工作在临界区的腔，只有某些特定的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。 1．稳定腔

(1)双凹稳定腔 由两个凹面镜组成。其中，R1＞L，R2＞L的腔对应图中l 区；R1＜L，R2＜L，及R1+R2＞L的腔对应图中2、3和4区。

(2)平凹稳定腔 由一个平面镜和一个凹面镜组成。其中，凹面镜R＞L，它对应图中AC、AD段。

(3)凹凸稳定腔 由一个凹面镜和一个凸面镜组成。满足条件R1＞0，R2＜0，R1＞?R2?，R1＞L＞R1－?R2?；或?R2?＞R1＞L 的腔对应图中5区。R1＜0，R2＞0，R2＞?R1?，R2＞L＞R2－?R1?；或?R1?＞R2＞L 的腔对应图中6区。

(4)共焦腔 R1＝R2＝L，因而g1=0，g2=0，它对应图中的坐标原点。因为任意傍轴光线均可在共焦腔内无限往返而不逸出腔外，所以它是一种稳定腔。但从稳区图上看，原点邻近有非稳区，所以说它是一种很特殊的稳定腔。

(5)半共焦腔 由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔。它对应图中E和F点。 2．临界腔

(1)平行平面腔 因g1＝g2＝1，它对应图中的A点。只有与腔轴平行的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。

(2)共心腔 满足条件R2＋R2＝L的腔称为共心腔。如果R1＞0，R2＞0，且R1＋R2＝L，公共中心在腔内，称为实共心腔。这时，gl＜0，g2＜0，g1g2＝1，它对应图中第三象限的g1g2＝1的双曲线。特别，在R1＝R2＝R＝L／2，g1＝g2＝－1时，为对称共心腔，它对应图中B点。如果R1和R2异号，且R2＋R2＝L，公共中心在腔外，称为虚共心腔。由于g1＞0，g2＞0，g1g2＝1，它对应图中第一象限的g1g2＝1的双曲线。

(3)半共心腔 由一个平面镜和一个凹面镜组成。凹面镜半径R＝L，因而，g1＝1，g2＝0，它对应图中C点和D点。

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实共心腔内有一个光束会聚点，会引起工作物质的破坏；半共心腔的光束会聚点在平面镜上，会引起反射镜的破坏。因此，有实际价值的临界腔只有平行平面腔和虚共心腔。 3．非稳腔

对应图中阴影部分的光学谐振腔都是非稳腔。非稳腔，因其对光的几何损耗大，不宜用于中小功率的激光器。但对于增益系数G大的固体激光器，也可用非稳定腔产生激光，其优点是可以连续地改变输出光的功率，在某些特殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。

区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小，一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它的优点是容易产生激光。

2.4光学谐振腔的衍射积分理论

利用几何光学分析方法讨论了光线在谐振腔中的传播、谐振腔的稳定性问题以及谐振腔的分类。而有关谐振腔振荡模式的存在、各种模式的花样也就是光束结构及其传输特性、衍射损耗等，只能用物理光学方法来解决。光学谐振腔模式理论实际上是建立在标量理论的菲涅耳——基尔霍夫衍射积分以及模式再现概念的基础上的，本节用这种方法来讨论光学谐振腔。

一、菲涅耳——基尔霍夫衍射

惠更斯为了描述波的传播过程，提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。菲涅耳引入干涉的概念，补充了惠更斯的原理，认为子波源所发的波应是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。基尔霍夫进一步用格林函数方法求解波动方程，得到惠更斯一菲涅耳原理的数学形式，就是菲涅耳——基尔霍夫衍射公式。

设波阵面?上任一源点P'的光场复振幅为u'(P')，则空间任一观察点P的光场复振幅

u(P)由下列积分式计算

iku(P)?4?2???u'(P')?e?ik??(1＋cos?)ds'

式中?为源点P'与观察点P之间的距离；?为源点P'处的波面法线n与PP'的夹角；

k??为光波矢的大小，?为光波长；ds'为源点P'处的面元。

波面?上各点发出的次级子波为“非均匀”的球面波。因子

e?ik??表明了波是球面波，

因子1+cos?称为倾斜因子，它反映出子波这种球面波是“非均匀”的。

二、光学谐振腔的自再现模积分方程

1．自再现模概念

光学谐振腔是一种“开式”的谐振腔。所谓开式是指，它只靠两端的反射镜来实现光束在腔内的往返传播，对于光波没有任何其它限制。由于反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应。腔内的光束每经过一次反射镜的作用，就使光束的一部分不能再次被反射回腔内。因而，反射回来的光束的强度要减弱，同时光强分布也将

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发生变化。1960年Fox A G和Tingye Li采用计算机进行迭代法数值计算证明，当反射次数足够多时（大约三百多次反射），光束的横向场分布便趋于稳定，不再受衍射的影响。场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时(对称开腔)，这种稳态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现“再现”。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。

一方面，人们从理论上论证了自再现模的存在性，并且用数值的和解析的方法求出了各种开腔的自再现模。另外又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。因此证明开腔的自再现模确实存在。 2．自再现模积分方程

对于激光器开腔来说，若给定某一镜面上的光场分布函数，如何计算当光波渡越到另一镜面处时所形成的新光场分布函数呢?

图（2-5） 镜面上场分布的计算示意图

图（2-5）所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面M和M'上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标(x,y)和(x',y')。假设镜面M'上的光场分布已知，也就是M'上任一源点

P'(x',y')的光场强度u'(x',y')为已知。利用(3-1)式在整个镜面M'上积分可以计算出M镜上的场分布函数，即任意一个观察点P(x,y)的光场强度u(x,y)。

为了导出自再现模的积分方程，假设uq(x',y')为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，uq?1(x',y')表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布， uq?1与uq之间应满足如下的迭代关系

ikuq?1(x,y)?4?e?ik?1cos?)ds' ??uq(x',y')（＋M'?考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uq?1应能够将uq再现出来，两者之间应有关系

uq?1??uq

式中?是一个与坐标无关的复常数。有

ik?uq(x,y)?4?程

e?ik?1cos?)ds' ??uq(x',y')（＋M'?去掉式中光场分布函数的下标q，用u(x,y)表示稳态场分布函数，改写为自再现模积分方

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?R2?(R1?R)f(?)2?B1?21

1?B21?f(?)?2 ?R2?2?(R1?R)?f()2?1B2?21?

1??2B2?()1f?式中?2、?1分别为上、下能级上粒子的寿命。激光上、下能级间粒子数密度反转分布?n可以表示为

?n?n2?n1?R2?2?(R1?R)?f1?()2?1B2?2?(R1?R)?2 11??2B2?f(?)1R2?2?(R1?R2)?1?n0 ??1??2B21?f(?)1??2B21?f(?)是一般的稳态情况下的粒子数密度反转分布值与各参量之间的关系式。

二、小信号工作时的粒子数密度反转分布

式(2-7)中的参数?n的表达式为

0?n0?R2?2??R1?R2??1

它是当分母中的第二项为零时的粒子数密度反转分布值。由于分母中的第二项一定是个正值，因此它又是粒子数密度反转分布值可能达到的最大值。显然，?2、B21和f???作为物理常数是不能改变的，不会为零,只有在谐振腔中传播的单色光能密度?可能趋近于零。换句话说，参数?n对应着谐振腔的单色光能密度为零或者近似为零时的粒子数密度反转分布值的大小。在激光谐振腔中尚未建立受激辐射光放大的稳定工作状态发出激光之前，谐振腔内单色光能密度相对于稳定工作发出激光时的值要小得多，可认为近似为零。因此参数

0?n0对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态，通常把这个状态叫作小信号工作状态，而

参数?n就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。

小信号工作时粒子数密度在能级间的反转分布值与能级寿命、抽运速率之间的关系。可以看出，首先，在选择激光上、下能级时应该满足这样的要求：E2能级的寿命要长，使该能级上的粒子不能轻易通过非受激辐射而离开；E1能级的寿命要短，使E1能级上的粒子能很快地衰减。这就是说，满足条件?2＞?1的能级，有利于实现能级间的粒子数反转分布。其次，应该选择合适的激励能源，使它对介质的E2能级的抽运速率R2愈大愈好，对E1能级的抽运速率R1愈小愈好。

0三、均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布

粒子数密度反转分布表达式中包含有激光工作物质的光谱线型函数，这就意味着激光工作物质的光谱线型函数对激光器的工作有很大影响。首先来讨论均匀增宽型介质的情况。

1.4节中给出均匀增宽的介质的线型函数为

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f??????2?1???????0?2?????2?2

f(?)中心频率值为

f??0??如果介质中传播着的光波频率为?0，则

2 ????f??0??2?I ?c??于是光波频率为?0时，(2-7)式分母上的第二项可改写为

?2B21?f??0???2B21式中Is为饱和光强，其定义为

2?II? ?c??IsIs??c??

2?B21?2如果介质中传播着的光波频率???0，则(2-7)式分母上的第二项可以化简为

?2B21?f????这样，

If??? ?Isf??0???n0?I?1??Is0?n?2?n???????2If(?)?[(???0)??]?n0?1??2?Isf(?0)?2?I??????2??(???0)??1?I??2??s??????0

???0就是均匀增宽型介质内E2、El能级之间粒子数密度反转分布的表达式，它给出了能级间的粒子数密度反转分布值与腔内光强I、光波的中心频率?0、介质的饱和光强Is、激励能源的抽运速率R2、R1以及介质能级的寿命?2、?1等诸参量之间的关系(后两项体现在?n0中)。

与普通光源不同，激光是靠介质内的受激辐射向外发出大量的光子而形成的。受激辐射产生的光子与外来光子性质完全相同，使入射光得到放大。用这种原理制成的光源称为受激辐射的光放大器简称激光器，其输出光称为激光。本节讨论利用受激辐射使光放大产生激光的条件。

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四、激光放大的阈值条件

上面讨论指出，腔内光强比较弱时，光波往返一次的放大倍数K?1，随着光强不断地增强，放大倍数就不断下降，直至K?1为止。因此，得到形成激光所要求的双程放大倍数

K?r1r2exp?G?a内?2L?1

也可把(2-35)式改写为增益系数的形式

G?a内?令 a内?称为总损耗系数，则

1ln?r1r2? 2L1ln?r1r2??a总 2LG?a总

这就是形成激光所要求的增益系数的条件。

小讯号增益系数G是激光器在形成激光的过程中增益系数所能取的最大值。随着腔内光强的增大，增益系数将不断下降，当增益系数下降到下限值时，腔内光强也就达到最大值IM（IM为平均值）。增益系数的下限值称为增益系数的阈值，表示为

0

G0G阈??a总

IM1?Is对非均匀增宽型介质，增益系数的阈值则为

GD阈?0GD?IM??1??Is??12?a总

由增益系数的阈值也可以导出粒子数密度反转分布值的阈值?n阈

G阈??n阈B21?ch?f????a总

a总?c ?n阈?B21?h?f???A21c3c3把B21?代入上式有 ?8?h?3?38?h?3?3?8??2?2?a总 ?n阈?2cf(?) - 33 -

式中：?为E2能级的寿命，?为折射率，f(?)为谱线的线型函数。给出了对激励能源的要

8??2?2?a总求，即激励能源对介质粒子的抽运一定要满足?n??n阈?，才能产生激光。

c2f(?)1.11激光器的振荡模式

一、纵模竞争

前面已经指出，对于均匀增宽型的介质来说，每个发光粒子对形成整个光谱线型都有相同的贡献。当强度很大的光通过均匀增宽型增益介质时，由于受激辐射，使粒子数密度反转分布值下降，于是光增益系数也相应下降，但是光谱的线型并不会改变。其结果是增益曲线按同一比例降低，线宽和频率分布都不发生变化。

图（1-19） 均匀增

宽型谱线纵模竞争

当谐振腔的长度模落在均匀增宽的谱所对应的小讯号增益

足够大，使得有多个纵线范围内，且每个纵模

G0(?)都大于增益阈值

这些纵横都有可能在腔内形成振荡。不失一般性，在图（1－19）中，假设只有q?1，G阈时，

q，q?1三个纵模满足振荡条件。这三个纵模的光均有增益，光强都在增加，随着光强的

增加，整个增益曲线由小讯号增益曲线G(?)开始逐渐下降。当降到曲线l时，对q?1模来说，增益已经变得比G阈低了。这样，它往返一次光的增益小于损耗，使振荡越来越弱，直到最后被抑制掉。但此时，对q和q?1模来说，增益仍大于G阈，故腔内光强仍继续增加，使增益曲线继续下降。当下降到曲线2时，q?1模也被抑制掉，只有q模的光强继续增长，最后变为曲线3的情形。若此时的光强为Iq，则有

0G??q,Iq??G阈

于是，振荡达到稳定(振荡一次增益等于损耗，使q纵模的光强Iq保持不变)，使激光器内部只剩下q纵模的振荡。这种通过增益的饱和效应，使某个纵模逐渐把别的纵模的振荡抑制下去，最后只剩下该纵模的振荡的现象叫做“纵模的竞争”。

由上面的分析可以看到，纵模竞争的结果总是最靠近谱线中心频率的那个纵模被保持下来，所以，一般说来，均匀增宽的稳定激光器的输出常常是单纵模的，而且它们的频率总是在谱线中心附近。

在均匀增宽激光器中，当受激辐射比较强时，也可能有比较弱的其它纵模出现，其原因可以这样解释：当腔内形成纵模为q的强激光振荡时，在激光器腔内，形成的是一个驻波场，所以腔内光强并不均匀。在波腹处光强最强，在波节处光强最弱。这就使得在整个腔长范围

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内各点的增益也不相同，只是平均增益等于G阈，而在波节处增益就比较高。由于其他纵模的波节和波腹与q纵模的波节和波腹并不重合，所以这些纵模就可以在q纵模的波节处得到较高的增益，而形成较q纵模弱的振荡。这就是均匀增宽谱线的稳定激光器中，在激光较强时，也可能出现少数几个弱的其他纵模的振荡的原因。这种现象称为模式的“空间竞争”。

1.12输出特性

前面的讨论指出，激光上下能级间粒子数密度反转分布值愈大，增益系数也愈大，而粒子数密度反转分布值直接由激光上下能级的粒子数密度决定。如果选取的激光下能级只是基态，或者是很接近基态的能级，那么，根据玻尔兹曼分布，在常温下激光下能级上的粒子数密度已经很大，上能级几乎是空的，完全靠激励能源把下能级中一半以上的粒子不停地抽运到E2能级上去，造成粒子数密度反转分布，并且E2能级上的粒子数密度值要满足

n2?n1??n阈

这就要求激励能源有较大的抽运功率。

如果选取的激光下能级不是基态，在常温下它就是一个空能级，此时，只要激励能源抽运n2??n阈的粒子到E2能级上即可，这对激励能源的功率要求就低多了。这两种情况就是目前激光能级选取上常说的三能级系统和四能级系统问题。大量的实验证明，现有效率较高的激光器绝大多数都属于四能级系统。也就是说，输出的光能量占激励能源输入的总能量的百分比高的激光器大多数用的是四能级系统。

下面以常见的三种固体激光器为例，给出参数，用公式(2-41)算出粒子数密度反转分布值的阈值?n阈、达到阈值时上能级粒子数密度n2阈以及对比。同时把实验测得的效率列入，以便进行比较。

假定，激光器腔长L＝l0cm，反射率r2?1，r1?0.5，内损耗系数a内＝0，介质的线型函数为f??0??n2，并对三种激光器的结果进行?n阈2，则总损耗系数： ???a总?a内?1?ln?0.5?ln?r1r2???3.4657?1m? 2L0.2粒子数密度反转分布值的阈值?n阈为

?n阈?228??0??a总cf??0?2?4?2???0?2?a总c22

式中?0、?、??和?的值示于表（2-2）中，由表中所给数据即可算得?n阈并列于下表中，对三能级系统要求n2?n1??n阈，而n1?n2?n，n是总粒子数密度；对四能级系统，

n2??n阈就满足要求了。

由表1-1可以看出，三能级系统达到阈值时上能级应该具有的粒子数密度几乎是?n阈的

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10倍，这要求激励能源对三能级的增益介质输入较多的能量来抽运下能级的粒子，这样的工作效率是很低的。而四能级系统达到阈值时，只要求上能级的粒子数密度稍大于?n阈即可，它对激励能源的要求较低，因此，工作效率也比三能级系统的要高。

从反转粒子数密度阈值出发，可对激光器所需的最低抽运功率作一个粗略的计算。

表1-1 三种激光器的结果对比

能级 激光波长? 激光频率?0 （s-1） 折射率? 线宽?? （s-1） 能级寿命? （s） 红宝石激光器 三能级系统 6943? 4.32?1014 1.76 3.3?1011 3?10-3 8.7?1017 1.58?1019 8.4?1018 10 0.1%?0.3% 钕玻璃激光器 四能级系统 1.06μm 2.83?1014 1.52 7?1012 7?10-4 1.4?1018 2.83?1020 1.4?1018 1 4%?6% 掺钕钇铝石榴石激光器 四能级系统 1.06μm 2.83?1014 1.82 1.95?1011 2.3?10-4 1.8?1016 1.38?1020 1.8?1016 1 3%?7% ?n阈 （cm-3） 总粒子数密度n（cm） -3n2阈 （cm-3） n2阈/?n阈? 效率 对三能级系统来说，粒子数密度反转分布是依靠外界能源将处于基态的粒子抽运到能级E3，然后通过非辐射跃迁到达能级E2的。因此，在理想情形下(不考虑粒子在能级间过渡的效率)，每使E2能级上增加一个粒子，外界能源必须提供相应的一份能量h?13(注意这是E3、E1间的能量差)。

当粒子数密度反转值达阈值时，激光上能级的粒子数n2?n1??n阈?光器来说，处在E2能级的粒子数密度由于自发辐射单位时间内减少值为

n。对于连续激2A21n2?n2?21

为维持激光阈值，这部分粒子必须由外界能源抽运来补充。如果工作介质的体积为V，则能源的阈值抽运功率为

P?13V?阈3?n2A21hh?13nV 2?21 阈值抽运功率是激光器产生受激辐射时能源提供的最低功率。如果考虑到由能源抽运到

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输出激光这一系列中间过程中的转换效率(由于转换环节多，一般效率在千分之几到十分之几这个幅度范围内变化，视具体激光器而定)。实际激光器正常工作时的抽运功率比阈值抽运功率大得多。

类似三能级系统的讨论，我们容易得到能源对四能级系统提供的阈值抽运功率为

P阈4??n阈A32h?14V??n阈h?14V?32

1.14泵浦技术

泵浦 :给激光工作物质提供能量使其形成粒子数反转的过程。泵浦(pump)，即泵，又名帮浦、抽运；与泵不同的是，泵浦一词主要出现于激光领域。

在激光器中，外部能量通常会以光或电流的形式输入到产生激光的媒质之中，把处于基态的电子，激励到较高的能级高能态（人们用“泵浦”一词形容这一过程(如同把水从低处抽往高处))，物理学家将这种状态称为激发态(excited state)。

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第二章 光学谐振腔理论

2.1基本知识

一、光学谐振腔的构成与分类

光学谐振腔是激光器的重要组成部分，光学谐振腔不仅为获得激光输出提供必要的条件，同时还对输出激光谱线的频率、宽度、激光输出功率、光束的特性等都产生很大的影响。在激活介质的两端恰当地放置两个反射镜片就构成了激光谐振腔。激光器中常用的光学谐振腔有以下几 种类型。

1．平行平面腔。由两块相距L的平行放置的平面反射镜构成。

2．凹面反射镜腔。由两块相距L的共轴放置的凹球面镜构成，两球面镜的曲率半径分别为R1 和R2。R1、R2、L的相互关系可分为：

（1）共焦腔：当R1＝R2＝L时，两凹面镜的焦点在腔内重合，称共焦腔

（2）共心腔：当R1＋R2＝L时，两凹面镜曲率中心在腔内重合，称共心腔。 （3）非共焦腔：除上述两种情况外的凹球面镜腔，统称非共焦腔。

3．平凹腔。由相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的凹球面镜构成的腔。安R和 L的关系又可分为：

（1）半共焦腔：当L＝R／2时，平凹腔相当于半个共焦腔，称其为半共焦腔。 （2）非共焦平凹腔：队半共焦腔以外的平凹腔统称为非共焦平凹腔。

此外在某些特殊的激光器中尚有采有凸球镜构成的双凸腔、平凸腔和凹凸腔等。

二、光学谐振腔的作用

光学谐振腔一方面能起延长增益介质的作用来提高光能密度，同时还能控制光束的传播方向。只有那些沿腔轴方向往返传播的光才能获得多次放大，对于那些偏离腔轴方向传播的光，经反射镜数次反射就会侧向逸出增益介质。因此，光学谐振腔的存在保证了输出的激光有极好的方向性。在以下的章节中会进一步看到，激光的许多特点都与光学谐振腔有关。

三、腔模

1.纵模

当腔内存在激活物质时，为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定的振荡，必须满足谐振条件。这是因为当光波在腔镜上反射时，入射波和反射波会发生干涉。为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2?的整数倍，因而只有某些特定频率的光才能满足谐振条件

2???2q? q?1,2,3,?

每一个q值对应有正反两列沿轴线相反方向传播的同频率光波，这两列光波叠加的结果，将在腔内形成驻波。谐振腔形成的每一列驻波称做是一个纵模。激光器中满足谐振条件的不同纵模对应着谐振腔内各种不同的稳定驻波场，具有不同的频率。q值定义为纵模序数，又等于驻波的波节数。光波的波长是微米数量级，不难看出，一般的光学谐振腔内产生的驻波波节数是一个很大的量，因此q是一个很大的数。 考虑到光波矢k的值与谐振频率?之间具有的关系k?2???(式中?为激活物质的c折射率)，可以得到稳定存在于开腔中的激光振荡模式的谐振频率为

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?mnq?qcc???mn 2?L2??L激光谐振腔的谐振频率与纵模序数q、谐振腔的单程附加相移以及各物理常数有关，其中单程附加相移取决于横模序数m、n。因为单程总相移的主要部分是几何相移，纵模序数q数值非常大。另一方面，单程附加相移??数值很有限。因此激光谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数 ?mnq?2. 纵模频率间隔

qc 2?L腔内两个相邻纵模频率之差??q称为纵模的频率间隔。

??q??q?1??q?c2?L

??q与q无关，对于一定的光腔为一常数，因而腔的纵模在频率尺度上是等距离排列

的，如图(2-1)所示。图中每一个纵模均有一定的谱线宽度??c。

图（2-1） 腔中允许的纵模

数

由以上讨论可以看出，普通光源发出线宽

为??F的光，而在光学谐振腔中，只留下??F中满足谐振条件及阈值条件的那些频率，其他的频率都被谐振腔抑制掉了。这样，由激光器输出的激光的单色性就比普通光源的要好得多。 2.横模

积分方程的本征函数解umn一般为复函数，它的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。用一个屏接收激光器输出的光束时，可以直接用人眼观察到光束横截面上光强的分布情况。有的激光器输出一个对称的圆形光斑，如图(2-2)(a)所示；有的激光器输出一些形状更为复杂的光斑，如图(3-3)中的(b)、 (c)、(d) 、（f）、（g）所示。这些光强在光束横截面上的分布就是各种横模花样，是稳定的、有规律的图形。m＝0，n＝0时对应的横模称为基模(或横向单模)，基模的场集中在反射镜中心，是光斑的最简单结构，而其它的横模称为高阶横模。

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图（2-2） 横模光斑示意图

本征值?mn一般也是个复数，它的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。这里所讲的损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用

?表示。定义为

??可得到

uq?uq?1uq222

?mn?1??mn

这里加上横模参数m和n，表明单程衍射功率损耗与横模序数有关。

本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。可以写出

2arguq?1?arg??arguq

而自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为

???arguq?1?arguq

因此有

???arg?

另外，自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移kL，它们的关系为

????kL???

??表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移。当??＞0

时，表示有附加相位超前，当??＜0时，表示有附加相位滞后。

??mn?kL?arg?mn

这说明单程附加相移与本征值?mn的幅角有关，不同的横模单程附加相移也不同。

2.2 光学谐振腔的损耗

激光器的损耗指的是在激光谐振腔内的光损耗，这种损耗可以分为两类，第一类是谐振腔内增益介质内部的损耗，它与增益介质的长度有关，叫做内部损耗，第二类损耗是可以折合到谐振腔镜面上的损耗, 叫做镜面损耗。 1.内部损耗

在增益介质内部由于成分不均匀、粒子数密度不均匀、或者有缺陷，光波通过这样的介质时就会发生折射、散射，使部分光波偏离原来的传播方向，造成光能量的损耗。增益介质内还会有不在下能级的粒子吸收光能，跃迁至其他上能级去造成光能量的损耗。这样，当光

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