第18届全国中学生物理竞赛预赛试卷(含答案)(2)

由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于

P??，则由球面镜成像公式可得

112?? （6） P??OP?OR由此可解得P??O?36cm，可知P??位于平面的左方，对平面折射来说，P??是一个虚物，经平面折射后，成实像于P???点。 （7） 所

以

P???O1? P??OnP???O?24 cm

（8）

最后所成实像在透镜左方24 cm处。 评分标准：本题18分

（1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。

四、参考解答

设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子和碳核的速度分别为v和v?，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因v0、v和v?沿同一直线，故有

mv0?mv?Mv?

（1）

解上两式得 （3） 因M?12m

12121 mv0?mv?Mv?2 （2）

222v?m?Mv0 m?M代入（3）式得 （4）

负号表示v的方向与v0方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为 于是

（5）

经过2，3，…，n次碰撞后，中子的能量依次为E2，E3，E4，…，En，有

?11??11?E2???E1???E0

?13??13??11?E3???E0

?13?624v??11v0 1311?11?2E1?mv2?m???v0

22?13?2?11?E1???E0 ?13?2

……

?E??11?En??1?E0???E0

?13??E0?n2n（6）

因此

n?1lg(En/E0)

2lg(11/13)（7）

已知 代入（7）式即得

1lg(?10－7)?7?lg77.8451n?7???54 （8）

112(?0.07255)0.14512lg()13eVEn0.0251－7 ???10E01.75?1067故初能量E0?1.75MeV的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 的热中子。

评分标准：本题18分

（1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。

五、参考解答

在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形，以t表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以x1表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．以f表示人与木板间的静摩擦力，以F表示地面作用于木板的摩擦力，以a1和a2分别表示人和木板的加速度，则

f?m1a （1）

1L?x1?a1t2 （2）

2f?F?Ma2

（3） （4）

1x1?a2t2 2解以上四式，得

t?2LMm （5）

Mf?m(f?F)对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有

（6）

设人在木板另一端停下v为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．

后两者一起向前移动的距离为x2，地面的滑动摩擦系数为?，则有

1(M?m)v2??(M?m)gx2 2Ft?(M?m)v

（7）

木板向前移动的净距离为 （8） 由以上各式得

???1?F??LMmLmX??(f?F)??? ???g?M?m(M?m)(f?F)?MFMf?m(f?F)??????2X?x2?x1

由此式可知，欲使木板向前移动的距离X为最大，应有

f?F （9） 即

f?Fmax??(M?m)g

（10）

即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力．

移动的最大距离 （11）

由上可见，在设木板发生向后运动，即f?F的情况下，f?FXmax?mL M?m时，X有极大

值，也就是说，在时间0～t内，木板刚刚不动的条件下X有极大值．

再来讨论木板不动即f?F的情况，那时，因为f?F，所以人积累的动

能和碰后的总动能都将变小，从而前进的距离x也变小，即小于上述的Xmax。 评分标准：本题25分

（1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；说明f移动的距离小于f?F?F时木板向前

时的给1分。

六、参考解答

铝球放热，使冰熔化．设当铝球的温度为t0时，能熔化冰的最大体积恰与半个铝球的体积相等，即铝球的最低点下陷的深度h与球的半径

当热铝球的温度t?t0时，铝球最低点下R相等．

陷的深度h?R，熔化的冰的体积等于一个圆柱体的体积与半个铝球的体积之和，如图预解18-6-1所示．

设铝的密度为?Al，比热为c，冰的密度为?，熔解热为?，则铝球的温度从t℃降到0℃的过程中，放出的热量

4Q1??R3?Alct （1）

3图预18-6-1

解

熔化的冰吸收的热量

14??Q2????R2(h?R)???R3??

23??（2）

假设不计铝球使冰熔化过程中向外界散失的热量，则有 （3） 解得

（4）

即h与t成线形关系．此式只对t?t0时成立。将表中数据画在ht图中，得第

1，2，…，8次实验对应的点A、B、…、H。数据点B、C、D、E、F五点可拟合成一直线，如图预解18-6-2所示。此直线应与（4）式一致．这样，在此直线上任取两点的数据，代人（4）式，再解联立方程，即可求出比热c的值．例如，在直线上取相距较远的横坐标为8和100的两点X1和X2，它们的坐标由图预解18-6-2可读得为

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