广东省惠州市2016届高三第一次调研考试 理科数学(全国卷版)试题(3)

对于选项B，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确； 对于选项C，因为α与β可能平行，也可能相交，所以m与β不一定垂直，故不正确； 对于选项D，由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．

（11）【解析】分为两类，第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学，方法数为C3C5C4?90，第

二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学，方法数为C3C5A2?60，故不同保送的方法数为150种，故选A．

13211212y22（12）【解析】抛物线y?x?x?8y，焦点F为(0,2)，则双曲线2?x2?1的c?2，则a2?3，

8a12y22222P(m,n)?m?n?1， 即双曲线方程为，设，，则?x?1(n?3)n?3m?333????????124327222则OP?FP?(m,n)?(m,n?2)?m?n?2n?n?1?n?2n?(n?)?，

3344因为n?3，故当n?3时取得最小值，最小值为3?23，故选A． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

72 （14） （15）??2 （16）4 253?3372（13）【解析】sin(??)??cos??，则cos2??2cos??1??．

25525（13）?（14）【解析】(x?1411r4?rr4?2r)的展开式的通项为Tr?1?C4x(?)rx?r?C4x(?)r， 3x332故常数项为T3?C4(?)??1322 3?2?（15）【解析】

（1?cos x）dx?(x?sinx)??2?2?2???2

?a?b?c?1?（16）【解析】可由待定系数法求得?4a?2b?c?5，解得a?2,b??2,c?1，所以3a?b?4

?9a?3b?c?13?三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

?2a1?2d?8【解】（Ⅰ）设数列{an} 的公差为d，由题意知? ………………2分

2a?4d?12?1解得a1?2,d?2…………………………………………………………4分 所以an?a1?(n?1)d?2?2(n?1)?2n,得an?2n…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn?(a1?an)n(2?2n)n??n(1?n)?n2?n ……………8分 222 ∴a3?2?3?6，ak?1?2(k?1)，Sk?k?k

因 a3,ak?1,Sk 成等比数列，所以ak?1?a3Sk，从而(2k?2)?6(k?k)，………10分

2*即 k?k?2?0，k?N,解得k?2 或k??1（舍去）

222∴ k?2 ……………………………………………………………………12分

（18）（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）由题意，得?0.02?0.032?a?0.018??10?1，解得a?0.03；………………………1分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分 而50个样本小球重量的平均值为：X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6（克） 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；…………………………4

分

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在?5,15?内的概率为0.2，………………………………5分

则X?B(3,).X的可能取值为0、1、2、3，…………………………………………………6分

1564480?1??4?1?1??4?，， P?X?0??C3?PX?1?C????3????????5512555125????????1?1??4?123?1??4?，P?X?3??C3. ………………10分 P?X?2??C????????????5??5?125?5??5?12523230032?X的分布列为：

X 0 1 48125 2 12125 3 P 64125 1125 1364481213EX?3??）………………12分 ?EX?0??1??2??3??.（或者551251251251255（19）（本小题满分12分）

D是AC1的中点,因为BA?BC1,所以BD?AC1,……2分 【解】(Ⅰ)依题意,侧面AAC11C是菱形,BD?平面ABC1,平面ABC1?平面AAC又平面ABC1?平面AAC11C,且11C?AC1

所以BD?平面AAC11C.…………………………………………5分

(Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知BD?平面AAC11C,CD?面AAC11C,所以CD?BD, 又CD?AC1,AC1?BD?D,所以CD?平面ABC1, 过D作DH?AB,垂足为H,连结CH,则CH?AB, 所以?DHC为二面角C1?AB?C的平面角. …………8分 在Rt?DAB中,AD?1,BD?3,AB?2,

A1

第18题 C1

H C

B1

B

D A

所以DH?AD?DB31522,CH?DH?DC?……10分 ?AB22DH55,即二面角C1?AB?C的余弦值是. ……………12分 ?CH55所以cos?DHC? [向量法]以D为原点,建立空间直角坐标系D?xyz如图所示, …………………………………6分 由已知可得AC1?2,AD?1,BD?AD?DC?3,BC?6 1故D?0,0,0?,A?1,0,0?,B0,0,3,C1??1,0,0?,C0,3,0,

????z B ????????AB??1,0,3,BC?0,3,?3,………………8分 则

????B1 C1 设平面ABC的一个法向量是n??x,y,z?,

????????x?3z?AB?n?0??x?3z?0则????,即,解得 ???????y?z?BC?n?0?3y?3z?0令z?1,得n?C y D A1 第18题

A x ?3,1,1………………………………………9分

?????显然DC?0,3,0是平面ABC1的一个法向量, ……………10分

??????????n?DC355所以cos?n,DC??,即二面角C1?AB?C的余弦值是.………12分 ??????555?3nDC（20）（本小题满分12分）

【解】(Ⅰ)因为抛物线y??x?1与x轴交于点(?1,0),(1,0)，所以b?1…………………………1分

2y2b2312由因为e?1?2??1?2?a?4，所以椭圆方程为?x2?1………………………3分

4a2a(Ⅱ)因为B(1,0)，若过点B的直线l斜率不存在时，不满足题意，所以直线l斜率存在，……………4分 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，………………………5分

?y?k(x?1)?222222??(k?4)x?(k?4)?联立?y2?(k?4)x?2kx?k?4?0??(x?1)?0……………7分 2??x?1?4?k2?4?8k?k2?4k2?4?8k?x1?2?1)?y1?2，所以y1?k(x1?1)?k(2，所以P?2,2?………8分

k?4k?4k?4k?4k?4??联立??y?k(x?1)2?x?kx?k?1?0?(x?k?1)(x?1)?0?x2??k?1………………………9分 2?y??x?122所以y2?k(x2?1)?k(?k?2)?y1??k?2k，所以Q(?k?1,?k?2k)…………………………10分

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