山东师大附中2009届高三数学理科模拟试题含答案及评分标准(2)

?A?B?C??,?2sinAcosB?sinA. ?0?A???sinA?0. ?cosB??0?B???B?1253; 16. ①③④.

.

?3…………………………………………………………….6分

2（2）m·n=4ksinA?cos2A??2sin设sinA?t,则t?(0,1].

A?4ksinA?1,A?(0,2?3)，…..8分

则m·n=?2t2?4kt?1??2(t?k)2?1?2k2,t?(0,1]……………………….10分 n取最大值. ?k?1,?t?1时，m·

依题意得，(m·n)max=?2?4k?1?5,?k?232…………………………………12分

18．解：（Ⅰ）?当??2时，有Cn种坐法， …………………………2分

?Cn?6，即

2n(n?1)2?6，

2． ?n?4． ……………………4分 n?n?12?0，n?4或n??3（舍去）

（Ⅱ）??的可能取值是0,2,3,4， 又?P???0??31A44?124824， P???2??13C4?1A442?62438?14，

P???3??

C4?2A44??，P???4??924?，………………………8分

??的概率分布列为：

? 0 2 3 4 P

则E??0?

124?2?14124?3? 133814?4? 13 38

…………………10分

?3． ……………………12分

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19.不妨设正三角形ABC 的边长为 3 . (I)在图1中，取BE的中点D，连结DF.

∵AE:EB=CF:FA=1:2，∴AF=AD=2，而

0

∠A=60,

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD…………2分 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.

又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP……….4分 (II)在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线.

又A1E⊥平面BEP, ∴A1E⊥BP,

从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）. 设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则 ∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，…………………6分 且BP⊥A1Q.

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=600， ∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP. 又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=3 又A1E=1,在Rt△A1EQ ,tan∠EA1Q=

EQA1E?3,∴∠EA1Q=60.

0

所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600…………………8分 (III)在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF.

∵CF=CP=1, ∠C=60. ∴△FCP是正三角形，∴PF=1. 又PQ=

120

BP=1，∴PF=PQ. ①

∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=3， ∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP, 从而∠A1PF=∠A1PQ. ② 由①②及MP为公共边知 △FMP≌△QMP， ∴∠QMP=∠FMP=900，且MF=MQ，

从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角……………10分 在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=5. ∵MQ⊥A1P, ∴MQ=

A1Q?PQA1P?255,∴MF=

255.

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=600，由余弦定理得QF=3. 在△FMQ中，cos∠FMQ=

MF2?MQ2?QF22MF?MQ78??78

所以二面角B-A1P-F的大小为?-arccos

……………..12分

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?2b22?a?2x?1?220．解：（1）由条件得?a，所以方程………3分 ?y?1??b?14 ??2b?a? （2）易知直线l斜率存在，令l:y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(?4,y0)

?y?k(x?1)?2222由?x2?(1?4k)x?8kx?4k?4?02?y?1??42??48k?16?0

??????????(x1?1)??(x2?1)由AQ??QB?(?1?x1,?y1)??(x2?1,y2)即?

?y1???y2 得???x1?1x2?1x1?x2??8k221?4k,x1x2?4k?41?4k22…………………6分

…………………8分

??????????(x1?4)??(x1?4)由AE??EB?(?4?x1,y0?y1)??(x2?4,y2?y0)即?

y?y??(y?y)120?0

x?4得???1…………………10分

x2?4 (x?1)(x2?4)?(x1?4)(x2?1)2xx?5(x1?x2)?8 ??????1??12(x2?1)(x2?4)(x2?1)(x2?4)将x1?x2??8k221?4k2,x1x2?4k?41?4k222代入

8k?8?40k?8?32k1?4k(x2?1)(x2?4)2222??8221?4k1?4k??有??????(x2?1)(x2?4)28k?840k?0……………12分

21.（1）由题设得F(x)?x?bsinx，

?F(x?5)?F(5?x)，则?F(?x)?F(x)，

所以x?bsinx?x?bsinx……………………………………………………2分 所以bsinx?0对于任意实数x恒成立

?b?0.故f(x)?x2?2…………………………………………………………..3分

22（2）由g(x)?f(x)?2(x?1)?alnx?x?2x?alnx，求导数得

g(x)?2x?2?2\'2ax(x?0)，g(x)在(0,1)上恒单调，只需g(x)?0或g(x)?0在(0,1)上恒成立，

222\'\'即2x?2x?a?0或2x?2x?a?0恒成立，所以a??(2x?2x)或a??(2x?2x)在(0,1)上恒成立…………………………………………………6分 记u(x)??(2x?2x),0?x?1，可知：?4?u(x)?0，

?a?0或a??4………………………………………………………………….8分

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（3）令y?ln(1?x2)?列表如下.

x \'y 12f(x)，则y?\'2x1?x2?x??(x?1)x(x?1)1?x2. 令y\'?0，则x??1,0,1，

(??,?1) ?1 (?1,0 0 0 极小值1 12(0,1) 1 0 极大值12(1,??) + 递增 12120 极大值12— 递减 + 递增 — 递减 y ln2? ln2? ?k?ln2?1?k?ln2?时，无零点；k?1或k?ln2?时，有两个零点；k?1时有三个零点；

时，有四个零点…………………………………………………………12分

?kn?1，?a2a1?a2?k?1………………………………….1分

2222.（1）?an?1an又因为a1?1,an?1an?1?anan?1?an(n?N*,n?2)，则a3a1?a2a1?a2，即

a3a2?2k?1，?a2?2k，k?1…………………………………….4分 an?1an?n?1，an?an?an?1?????a2a1a3a2?1?a2，又

（2）

an?1an?2n?1?a1?n?(n?1)???2?1?n!…….5分

因为g(x)?anxn?1(n?1)!?nx，所以

n(n?1)2当x?1时，f(1)?1?2?3???n?

2n?1当x?1时，f(x)?1?2x?3x???nx，①

?xf(x)?x?2x?3x???nx，②

2n?123n①-②：(1?x)f(x)?1?x?x???x?nx?n1?xn1?x?nx，……………8分

nn(n?1)?,x?1?1?xnx?2?f(x)??.综上所述，f(x)??……………9分 nn21?xnx(1?x)1?x??,x?12?1?x?(1?x)nn（3）?f(2)?又

3nn1?2n2(1?2)?n2n1?2?(n?1)2?1，…………………………………..10分

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