人教版初中数学第二十二章二次函数知识点(3)

考点：二次函数图象与几何变换．

例3．将二次函数y?x的图象如何平移可得到y?x?4x?3的图象（） A．向右平移2个单位，向上平移一个单位 B．向右平移2个单位，向下平移一个单位 C．向左平移2个单位，向下平移一个单位 D．向左平移2个单位，向上平移一个单位 【答案】C

【解析】y?x2?4x?3?(x?2)2?1，根据二次函数的平移性质得：向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.

例4．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为． 【答案】0，y=x2﹣2x．

22

【解析】

∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上， ∴（﹣1）2﹣1=m， 解得m=0，

平移方法为向右平移1个单位，

平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），

平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x， 即y=x2﹣2x．

故答案为：0，y=x2﹣2x．

2、二次函数y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??223、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及

c?、以顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对及?0，称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

4、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．

4a?2a?2a4ac?b2bbb当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值．

2a2a2a4a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，．当时，y随x的增大x???2a4a2a2a??4ac?b2bb而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值．

2a2a4a例1．当a < 0 时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在（） A、x轴上方 B、x轴下方 C、y轴右侧 D、y轴左侧 【答案】B 【解析】

试题分析：∵方程ax2+bx+c=0无实数根，∴b2+4ac<0，即函数图形与x轴没有交点

又∵a < 0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方 故选B．

考点：二次函数的性质

例2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a、b、c满足（）

A、a＜0，b＜0，c＞0 B、a＜0，b＜0，c＜0 C、a＜0，b＞0，c＞0 D、a＞0，b＜0，c＞0 【答案】A 【解析】

试题分析：由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=-0，所以可以找到结果．

试题解析：根据二次函数图象的性质， ∵开口向下， ∴a＜0，

∵与y轴交于正半轴， ∴c＞0， 又∵对称轴x=-∴b＜0， 所以A正确．

考点：二次函数图象与系数的关系．

例3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果： ①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0， 则正确的结论是（）

b＜0，可以得到b＜2ab＜0， 2a

A.①②③④ B.②④⑤ C.②③④ D.①④⑤

【答案】D 【解析】

试题分析：根据抛物线与x轴有两个交点，可得△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；

b＜0，与y轴交于负半轴，因此可知ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误； 2ab根据抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；

2a根据抛物线对称轴为x=﹣当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确； 当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确； 正确的是①④⑤． 故选D．

考点：二次函数图象与系数的关系

例4．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）

A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0

C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＜0 【答案】D 【解析】

试题分析：因为抛物线开口向上，所以a＞0，又对称轴在y轴右侧，所以?轴的交点在x轴下方，所以c＜0，所以a＞0，b＜0，c＜0，故选：D． 考点：抛物线的性质．

例5．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线． 【答案】x=-1． 【解析】

试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．

试题解析：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0）， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称，

b＞0，所以b＜0，又因为抛物线与y2ax1?x22则此抛物线的对称轴是直线x=考点：抛物线与x轴的交点．

?4?2??1，即x=-1． 25、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线

与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

6、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴在a?0的前提下，

当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

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