人教版初中数学第二十二章二次函数知识点

对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

22.2二次函数与一元二次方程

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程①当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，b2?4ac. ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?a2②当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③当??0时，图象与x轴没有交点.

1\'当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2\'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以

a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

??0抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根

??0二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 ??0

二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

例1．已知函数y?3x2?6x?k（k为常数）的图象经过点A（0．8，y1），B（1．1，y2）， C（2，y3），则有（）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】C 【解析】

试题分析：因为函数y?3x2?6x?k的对称轴是x??象的草图，

b?6???1，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图2a6

观察图象可得：y3＞y1＞y2，故选：C．

考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点．

例2．已知二次函数y=x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是. 【答案】m≥-2． 【解析】

试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解． 试题解析：抛物线的对称轴为直线x=-2m=-m， 2?1∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大， ∴-m≤2，

解得m≥-2．

考点：二次函数的性质．

例3．函数y?x2?bx?c的图象经过点（1，2），则b-c的值为． 【答案】1 【解析】

试题分析：把点（1，2）代入y?x2?bx?c，得：1?b?c?2，所以b?c?1. 考点：函数图象上的点.

例4．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；

（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）x=－2 【解析】

试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．

试题解析：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣b，∴b=－2a ∴2a+b=0； 2a（2）∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0，∵b=﹣2a，∴16a﹣8a﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2，∴ax+bx﹣8=0为：x﹣2x﹣8=0， 则（x﹣4）（x+2）=0，解得：x1=4，x2=﹣2， 故方程的另一个根为：﹣2．

考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点 例5．已知函数y?x2?bx?1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的解析式；

（2）当x?0时，求使y?2的x的取值范围． 【答案】（1）y?x2?2x?1；（2）x?3． 【解析】

试题分析：（1）把（3，2）代入函数解析式求出b的值，即可确定出解析式； （2）利用二次函数的性质求出满足题意x的范围即可．

试题解析：（1）∵函数y?x2?bx?1的图象经过点（3，2），∴9?3b?1?2，解得：b??2， 则函数解析式为：y?x2?2x?1；

22（2）当x?3时，y?2，根据二次函数性质当x?3时，y?2，则当x?0时，使y?2的x的取值范围是x?3． 考点：待定系数法求二次函数解析式．

22.3 实际问题与二次函数

例1．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）

x

【答案】C 【解析】

试题分析：A、对于一次函数a＜0，对于二次函数a＞0，则不正确；B、对于一次函数b＜0，对于二次函数b＞0，则不正确；C、正确；D、对于一次函数b＜0，对于二次函数b＞0，则不正确． 考点：函数图象

例2．学生校服原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（） A．9% B．8．5% C．9． 5% D．10% 【答案】D． 【解析】

试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100元×（1-下降率）2=每套校服现在的售价是81元”，列出方程100（1-x）2= 81元，解得x即可，故答案选D． 考点：一元二次方程的应用．

第二十二章二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

22.1.2 二次函数y?ax的图象和性质

21. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的a?0 向上 0? ?0，y轴 增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的a?0 向下 0? ?0，y轴 增大而增大；x?0时，y有最大值0．

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