2019高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何专题强化练十五圆锥(3)

2019

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3

解析：不妨设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，

B (x 2，y 2)，(y 2＜0)．

则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224

＋y 1. 又y 1y 2＝－p 2＝－4.

所以|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2＜0)． 设g (x )＝x 24－4x ，g ′(x )＝x 3＋82x 2， 令g ′(x )＜0，得x ＜－2，令g ′(x )＞0得－2＜x ＜0.所以g (x )在(－∞，－2)递减，

在(－2，0)递增．

所以当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3.

答案：3

三、解答题

7．已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切．

(1)求动圆心M 的轨迹方程；

(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对

称，求证：直线AC 恒过定点．

(1)解：由题意得点M 与点(0，1)的距离等于点M 与直线y ＝－1的距离．

由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2

＝1，所以p ＝2.

所以圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .

(2)证明：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则C (－x 2，y 2)，

由?????x 2＝4y ，y ＝kx －2，得x 2－4kx ＋8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.

k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24

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