三年级奥数等差数列2

小学三年级奥数专项练题《等差数列(一)》

【课前】(★)

请观察下面的数列，找规律填数字。 ①5，9，13，17，21，_____；

②7，11，15，19，_____，27，_____，35； ③200，180，160，140，_____； ④102，92，82，72，____，52。 【知识要点屋】

1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。

2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。 3．名词：公差，首项，末项，项数

5 ，9，13，17，21，25

(★★★)

⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是 ______；

⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。 (★★★)

一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第 19项＝______，212是这个数列的第_____项。

【铺垫】 (★★)

计算下面的数列和：

3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝_____。

(★★★) 计算下列各题

⑴1＋2＋3＋4＋?＋23＋24＋25＝_____； ⑵1＋5＋9＋13＋?＋33＋37＋41＝_____。

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？

2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（ ）。

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？

解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。

2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（ ）。

解答：d=（55-6）÷（8-1）=7

（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（ ）项。

（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。

解答：（30-2）÷2+1=15

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（ ）项。

解答：（62-2）÷6+1=11

（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（ ）。 （2）今天是周日，再过78天是周几？

（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（ ）。

解答：（98-11）÷3＋1=30

（2）今天是周日，再过78天是周几？

解答：（78＋1）÷7=11……2，所以是周一。

在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题。在三年级我们已经介绍过高斯的故事，他之所以 算得快，算得准确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和的规律。

1+2+3+?+98+99+100 =（1+100）+（2+99）+?+（50+51） =101×50，即（100+1）×（100÷2）=101×50=5050 按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如： 1，2，3，4，?是等差数列,公差是 1;

1，3，5，7，?是等差数列，公差是 2； 5，10，15，20，?是等差数列，公差是 5.

由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：项数=（末项-首项）÷公差+1；

第几项=首项+（项数-1）×公差； 总和=（首项+末项）×项数÷2.

本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。我们要求同学们注意灵活应用这三个公式。 【例题精讲】 例 1 计算下面各题：

（1）2+5+8+?+23+26+29；

（2） （2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99） 。

解 （1）这是一个公差为 3，首项为 2，末项为 29，项数为（29-2）÷3+1=10 的等差数列求和。 原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155

（2）解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50； 解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=1×50=50. 说明 两种解法相比较， 解法一直套着公式，平平淡淡；

解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点， 运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?+1” ，从而解得更巧、更好。 例 2 计算：

1÷2003+2÷2003+3÷2003+?+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003. 分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数 列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。 解 原式=（1+2+3+?+2002+2003）÷2003=（1+2003）

×2003÷2÷2003=1002. 说明 此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整 个解答显得简捷明快。 例 3

某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名 1 人，第二名并列 2 人， 第三名并列 3 人??第十五名并列 15 人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？

分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，?，15.因此，根据求和公 式可以求出获奖总人数。 解： （1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）

例 4 某体育馆西侧看台上有 30 排座位，后面一排都比前面一排多 2 个座位，最后一排有 132 个座位。体 育馆西侧看台共有多少个座位？

分析： 要求这 30 个数的和， 必须知道第一排的座位数， 而最后一排的座位数是由第一排座位数加上 （30-1） ×2 得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。

解：第一排的座位数为：132-2×（30-1）=132-58=74（个） 所以 （74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）

例 5 学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛 1 场。 （1） （2） 若有 20 人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？ 若一共进行了 78 场比赛，有多少人参加了选拔赛？

分析 设 20 个选手分别是 A1,A2,A2,?,A20,我们从选手 A1，开始按顺序分析比赛场次： A1 必须和 A2，A3，A4，?，A20 这 19 人各赛一场，共计 19 场； A2 已和 A1 赛过，他只需和 A3，A4，A5，?，A20 这 18 名选手各赛一场，共计 18 场； A3 已和 A1，A2 赛过，他只需与 A4，A5，A6，?，A20 这 17 名选手各赛一场，共计 17 场； 依次类推，最后，A19 只能和 A20 赛一场。 然后对各参赛选手的场次求和即可。

解 （1）这 20 名选手一共需赛 19+18+17+?+2+1=（19+1）×19÷2=190（场） 。 （2） 设参赛选手有 n 人，则比赛场次是 1+2+3+?+（n-1） ，根据题意，有 1+2+3+?+（n-1）=78, 经过试验可知，1+2+3+?+12=78， 于是 n-1=12，n=13，所以，一共有 13 人参赛。 说明， （1）也可这样想，20 人每人都要赛 19 场，但“甲与乙”“乙与甲”只能算一场，因此，共进行 20 、 ×19÷2=190（场）比赛。 （2）采用了试验法，这是一种很实用的方法，希望同学们能熟练掌握。

作业：

1,等差数列求和公式（首项，末项，公差已经知道） 和= 2、等差数列求末项公式（首项，公差，相数已经知道） 末项= 3、等差数列项数公式： （首相，公差，末项已知） 项数= 4、求和： 100+102+104+106+108+110+112+114 995+996+997+998+999 1+3+5+7+…+37+39

（1+3+5+…+1999）-(2+4+6+8+…+1998)

5、应用题

a. 自 1 开始，每隔两个数写出一个数来，得到的数列为 1,4,7,10,13,,,,求出这个数列前 100 项的和

b.影剧院有座位若干排，第一排座位 25 个，以后每排比第一排多 3 个位置，最后一排有 94 个座位，请问，这个影剧院共有多少个座位?

c. 小红读一本书，第一天读了 30 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 4 页，最后 一天读了 70 页，刚好读完，请问这本小说多少页？

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