2018届高考（理）热点题型：三角函数与解三角形（含答案解析）

三角函数与解三角形

热点一 三角函数的图象和性质

注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.

x

【例1】已知函数f(x)＝sin x－23sin22. (1)求f(x)的最小正周期；

2π??

(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.

3??(1)解 因为f(x)＝sin x＋3cos x－3. ?π?＝2sin?x＋?－3.

3??

所以f(x)的最小正周期为2π. 2π

(2)解 因为0≤x≤3， ππ

所以3≤x＋3≤π.

π2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.

332π???2π?

所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3.

3???3?【类题通法】求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板

第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式； 第二步：由T＝

求最小正周期； |ω|2π

第三步：确定f(x)的单调性；

第四步：确定各单调区间端点处的函数值；

第五步：明确规范地表达结论.

3

【对点训练】 设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的π

图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求ω的值； 3π??(2)求f(x)在区间π，

2?

?

?上的最大值和最小值. ?

3

解 (1)f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx 1－cos 2ωx13

＝2－3·－2sin 2ωx

2π?31?

＝2cos 2ωx－2sin 2ωx＝－sin?2ωx－?.

3??

π

因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期π

T＝4×4＝π. 又ω＞0，所以

2π

＝π，因此ω＝1. 2ω

π??

(2)由(1)知f(x)＝－sin?2x－?.

3??

π

设t＝2x－3，则函数f(x)可转化为y＝－sin t. 3π5ππ8π

当π≤x≤2时，3≤t＝2x－3≤ 3，

?5π8π?

如图所示，作出函数y＝sin t在?，3? 上的图象，

?3?

??5π8π?3??时，sin t∈?－，1?， 由图象可知，当t∈?，3??3?2?

π?33?

故－1≤－sin t≤2，因此－1≤f(x)＝－sin?2x－?≤2.

3??3π?3?

故f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值分别为2，－1.

2??热点二 解三角形

高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.

cos Acos Bsin C

【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＋b＝c. (1)证明：sin Asin B＝sin C； 6

(2)若b2＋c2－a2＝5bc，求tan B. (1)证明 在△ABC中，根据正弦定理， abc

可设sin A＝sin B＝sin C＝k(k>0). 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C. cos Acos Bsin C

代入a＋b＝c中， cos Acos Bsin C

有ksin A＋ksin B＝ksin C，变形可得

sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C.

6

(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝5bc，根据余弦定理，有 b2＋c2－a23

cos A＝2bc＝5. 4所以sin A＝1－cos2A＝5.

由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 443

所以5sin B＝5cos B＋5sin B， sin B

故tan B＝cos B＝4.

【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理. (2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.

【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.

(1)求角C的大小和线段BD的长度； (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)设BD＝x，

1＋4－x2

在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝，

2×2×19＋4－x2

在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝，

2×2×3∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0. 1

联立上式，解得x＝7，cos C＝2. π

由于C∈(0，π).∴C＝3，BD＝7. π3

(2)∵A＋C＝π，C＝3，∴sin A＝sin C＝2. 又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD

113

＝2AB·ADsin A＋2CB·CDsin C＝2×(1＋3)＝23， ∴四边形ABCD的面积为23. 热点三 三角函数与平面向量结合

三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析

式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.

【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n. (1)求角B的大小；

(2)若b＝3，求a＋c的范围.

解 (1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n， ∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，

∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0， ∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0. 即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A. 1

∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－2. 2π

∵0＜B＜π，∴B＝3. (2)由余弦定理得

2?a＋c?232222

?＝(a＋c)2，b＝a＋c－2accos3π＝a＋c＋ac＝(a＋c)－ac≥(a＋c)－?

4?2?

2

2

2

当且仅当a＝c时取等号. ∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.

又a＋c>b＝3，∴a＋c∈(3，2].即a＋c的取值范围是(3，2].

【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.

【对点训练】 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)?π??2π?

?. 的图象过点?，3?和点?，－2

?12??3?(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.

解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x. ?π??2π?

?， 因为y＝f(x)的图象过点?，3?和?，－2

?12??3?ππ

?3＝msin＋ncos?66，所以?

4π4π

??－2＝msin3＋ncos3，13?3＝m＋?22n，?m＝3，即?解得?

31?n＝1.

?－2＝－m－n，?22

π??

(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?.

6??π??

由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋?.

6??设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，

2

由题意知x0＋1＝1，

所以x0＝0，

即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2). π??

将其代入y＝g(x)得sin?2φ＋?＝1，

6??π

因为0<φ<π，所以φ＝6， π??

因此g(x)＝2sin?2x＋?＝2cos 2x.

2??

π

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－2≤x≤kπ，k∈Z. π??

所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?，k∈Z.

2??

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